2011届高考数学第一轮复习精品试题：导数(5)

由-2 000t+10 000<0,得t>5,

即细菌在t∈(0,5)时间段数量增加,在t∈(5,+∞)时间段数量减少.

17. 分析 本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识,考查分析推理和知识的综合应用能力.求函数在闭区间的最值,只需比较导数为零的点与区间端点处的函数值的大小即可. 解 (1)由原式得f(x)=x3-ax2-4x+4a, ∴f′(x)=3x2-2ax-4.

1(2)由f′(-1)=0,得a=2. 1此时有f(x)=(x2-4)(x-2),

∴f′(x)=3x2-x-4.

4由f′(x)=0,得x=3或x=-1.

509又f(3)=-27,f(-1)=2,f(-2)=0,f(2)=0, 950?∴f(x)在［-2,2］上的最大值为2,最小值为27.

18. 分析 在一定条件下,“利润最大”“用料最省”“面积最大”“效率最高”“强度最大”等问题,在生产、生活中经常用到,在数学上这类问题往往归结为求函数的最值问题.除了常见的求最值的方法外,还可用求导法求函数的最值.但无论采取何种方法都必须在函数的定义域内进行.

解法一 设相同的时间内,生产第x(x∈N*,1≤x≤10)档次的产品利润y最大. 依题意,得y=［8+2(x-1)］［60-3(x-1)］ =-6x2+108x+378

=-6(x-9)2+864(1≤x≤10), 显然,当x=9时,ymax=864(元),

即在相同的时间内,生产第9档次的产品的总利润最大,最大利润为864元. 解法二 由上面解法得到y=-6x2+108x+378. 求导数,得y′=-12x+108. 令y′=-12x+108=0,

解得x=9.因为x=9∈［1,10］,y只有一个极值点,所以它是最值点,即在相同的时间内,生产第9档次的产品利润最大,最大利润为864元.

§3.5导数及其运用单元测试

1.B; 2.D; 3.B; 4.D; 5.B; 6.C; 7.B; 8.A; 9.C; 10.D; 11. ?5; 12.(0,1); 13.

32?f(x)?x?3x,?f'(x)?3x?3?3(x?1)(x?1). 15、(I)解：

4?112e;14. 2;

令 f'(x)?0,得x??1,x?1.

,?1?)若 x?(??(1,??则)f'(x)?0，

故f(x)在(??,?1)上是增函数，f(x)在(1,??)上是增函数

),f'(x)?0，故f(x)在(?1,1)上是减函数 若 x?(?1,1则

(II) ?f(?3)??18,f(?1)?2,f(1)??2,f(2)?2

?当x??3 时，f(x)在区间[-3,2]取到最小值为?18. ?当x??1或2 时，f(x)在区间[-3,2]取到最大值为2. f(x)?116、解：（Ⅰ）当a?1时，故，满足（Ⅰ）条件的集合为

??2x?1?0?1?x?1x?1,化为

x?1?0,即：x??1

?xx??1?

f'(x)?（Ⅱ）

a(x?1)?(ax?1)a?1?(x?1)2(x?1)2

'f 要使f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数，必须(x)?0，

即 a??1，但a??1时，f(x)为常函数，所以a??1

?17、.解:（I）f(x)?3x?2(1?a)x?a.

（II）因f(x1)?f(x2)?0,故得不等式

32x13?x2?(1?a)(x12?x2)?a(x1?x2)?0.22即(x?x)[(x?x)?3xx]?(1?a)[(x?x)?2x1x2]?a(x1?x2)?0. 12121212

2又由（I）知

2?x?x?(1?a),2??13??xx?a.12?3? 代入前面不等式，两边除以（1+a），并化简得

2a2?5a?2?0.1(舍去)2因此,当a?2时,不等式f(x1)?f(x2)?0成立.

解不等式得a?2或a?2?f(x)?3ax?2bx?2,由条件知 18、.解：（1）

?f?(?2)?12a?4b?2?0,118??f(1)?3a?2b?2?0,解得a?,b?,c?.?323?f(?2)??8a?4b?4?c?6.?f(x)?13128x?x?2x?,f?(x)?x2?x?2,323

(－3,－2) ＋ －2 0 6 (－2,1) － ↘ 1 0

（2）x －3 (1,3) ＋ ↗ 3 f?(x) f(x) 416 ↗ 32 1016 13fmax?10,fmin?.6x?1时，2 由上表知，在区间[－3，3]上，当x?3时，

2?f(x)?3(x?2),令f?(x)?0,得x1??2,x2?2 19、解:（Ⅰ）

∴当x??2或x?2时f?(x)?0,当?2?x?2时,f?(x)?0，

∴f(x)的单调递增区间是(??,?2)及(2,??)，单调递减区间是(?2,2)

5?42；当x?当x??2,f(x)有极大值2,f(x)有极小值5?42

（Ⅱ）由（Ⅰ）的分析可知y?f(x)图象的大致形状及走向（图略）

∴当5?42?a?5?42时,直线y?a与y?f(x)的图象有3个不同交点， 即方程f(x)??有三解（

2f(x)?k(x?1)即(x?1)(x?x?5)?k(x?1) （Ⅲ）

2x?1,?k?x?x?5在(1,??)上恒成立 ∵

2g(x)?x?x?5，由二次函数的性质，g(x)在(1,??)上是增函数， 令

∴g(x)?g(1)??3,∴所求k的取值范围是k??3

选修1-1综合测试

1.B; 2.C; 3.D; 4.A; 5.C; 6.B; 7.C; 8.A; 9.C; 10.A; 11.

?x?R,x?x?3?0; 12. 充分不必要;

2

?3????3,???? 13. （2）;14. ?15.

?3??0,??3???;

椭圆x2144?y2169?1的焦点是?0，-5?、?0，5?，焦点在y轴上ya22设双曲线的方程为?xb22?1?a?0,b?o?2又因为双曲线过点?0，2?，把这个点代入方程可得a＝4b＝25?4＝21所以双曲线的方程为y224?x221?1

双曲线的实轴长为4，焦距为10，离心率为2.52???2????,????,1?3? ?1,???上为单调递增区间,在?3?上为单调递减区间. 16(1)在?71572?(2)x=1时,y=2,x=3时,y=27

17．解：设P（x，y）是所求轨迹上的任一点，

①当斜率存在时，直线l的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），

?4x2?y2?4?082k?,22由?y?kx?1 得：（4+k2）x2+2kx－3=0， x1+x2=－4?ky1+y2=4?k，

由

OP???1?(OA?OB)2

1 得：（x，y）=2（x1+x2，y1+y2），

x1?x2k?x?????24?k2??y?y1?y2?4?24?k2 即：?消去k得：4x2+y2－y=0

当斜率不存在时，AB的中点为坐标原点，也适合方程所以动点P的轨迹方程为：4x2+y2－y= 0。 18.

?1?直线AB方程为bx?ay?ab?0依题意可得：?c6???a3 解得：a?3,b?1??ab?3?2?a2?b2?椭圆的方程为x23?y?12?2?假设存在这样的值。 由??y?kx?2?x?3y?3?0222得1?3k2?2?x2?12kx?9?0????12k??361?3k???0???????????1??x?x??12k2??121?3k设C?x1,y1?,D?x2,y2?,则???????2?9?x?x???121?3k2而y1?y2＝?kx1?2??kx2?2?＝kx1x2?2k?x1?x2??42要使以CD为直径的圆过点E?－1，0?，当且仅当CE?DE时则y?2??1x1?1x2?12y1即y1?y2??x1?1??x2?1?＝0?k?1x1x2??2k?1??x1?x2??5?0???????3?将?2?代入?3?整理得 k＝7经验证k＝使得?1?成立67综上可知，存在k＝使得以CD为直径的圆过点E676??

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