单点训练(17)二次函数的应用（面积）(7)

设BC=x，y==（x+360x+32400） 2当x=60时，y=2700≈4676.5． 2答：当x=60cm时，y值最大，最大值是4676.5cm 4676.5＞4050（8分） （2）正确方案： 例解：当截面为半圆时，因为180=πr，所以其半径为r=≈5156.6＞4676.5，面积更大． ①正八边形一半，②正十边形一半，③半圆等． ，其面积为S=π（） 2 点评： 此题是一道探索性操作题，根据图形特点将面积的最值问题转化为二次函数的最值问题解答是解题的关键，（2）着重考查了同学们的实验探索能力，需要进行猜想和验证计算． 24．（2005?重庆）如图，五边形ABCDE为一块土地的示意图．四边形AFDE为矩形，AE=130米，ED=100米，BC截∠F交AF、FD分别于点B、C，且BF=FC=10米． （1）现要在此土地上划出一块矩形土地NPME作为安置区，且点P在线段BC上，若设PM的长为x米，矩形NPME的面积为y平方米，求y与x的函数关系式，并求当x为何值时，安置区的面积y最大，最大面积为多少？

（2）因三峡库区移民的需要，现要在此最大面积的安置区内安置30户移民农户，每户建房占地100平方米，政府给予每户4万元补助，安置区内除建房外的其余部分每平方米政府投入100元作为基础建设费，在五边形ABCDE这块土地上，除安置区外的部分每平方米政府投入200元作为设施施工费．为减轻政府的财政压力，决定鼓励一批非安置户到此安置区内建房，每户建房占地120平方米，但每户非安置户应向政府交纳土地使用费3万元．为保护环境，建房总面积不得超过安置区面积的50%．若除非安置户交纳的土地使用费外，政府另外投入资金150万元，请问能否将这30户移民农户全部安置？并说明理由．

考点： 二次函数的应用；一元一次不等式的应用。 专题： 压轴题。 分析： （1）要求矩形的面积就应该知道矩形的长和宽，可以延长MP交AF于点H，用PH表示出PM和PN，然后根据矩形的面积=长×宽，得出函数关系式，然后根据PH的取值范围和函数的性质，得出面积最大值．

（2）本题的不等式关系为：非安置户的建房占地面积+安置户的建房占地面积≤安置区面积×50%；安置户的补助费+安置户的基础建设费+安置户的设施施工费≤150万元+非安置户缴纳的土地使用费．以此来列出不等式，求出自变量的取值范围． 解答： 解：（1）延长MP交AF于点H，则△BHP为等腰直角三角形． BH=PH=130﹣x DM=HF=10﹣BH=10﹣（130﹣x）=x﹣120 2则y=PM?EM=x?[100﹣（x﹣120）]=﹣x+220x 由0≤PH≤10 2得120≤x≤130因为抛物线y=﹣x+220x的对称轴为x=110，开口向下． 所以，在120≤x≤130内， 2当x=120时，y=﹣x+220x取得最大值． 其最大值为y=12000（㎡） （2）设有a户非安置户到安置区内建房，政府才能将30户移民农户全部安置． 由题意，得 30×100+120a≤12000×50% 30×4+（12000﹣30×100﹣120a）×0.01+解得18≤a≤25 ×10×0.02≤150+3a 因为a为整数． 所以，到安置区建房的非安置户至少有19户且最多有25户时，政府才能将30户移民农户全部安置；否则，政府就不能将30户移民农户全部安置． 点评： 本题考查了二次函数和一元一次不等式的综合应用，读清题意，找准等量关系是解题的关键． 25．（2005?枣庄）如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点（点E与点A，D不重合）．BE的垂直平分线交AB于M，交DC于N．

（1）设AE=x，四边形ADNM的面积为S，写出S关于x的函数关系式； （2）当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大？最大值是多少？

考点： 二次函数的应用；线段垂直平分线的性质；正方形的性质。 专题： 压轴题。 分析： （1）解题的关键是作辅助线ME、MN，证明出来△EBA≌△MNF，把需要解决的问题转化成解直角三角形的问题，利用勾股定理解答． （2）根据（1）的答案，利用二次函数的最值问题即可求出．

解答： 解：（1）连接ME，设MN交BE于P，根据题意，得 MB=ME，MN⊥BE．（2分） 过N作AB的垂线交AB于F，在Rt△MBP和Rt△MNF中， ∠MBP+∠BMN=90°，∠FNM+∠BMN=90°， ∴∠MBP=∠MNF． 又AB=FN， ∴Rt△EBA≌Rt△MNF，故MF=AE=x． 在Rt△AME中，AE=x，ME=MB=AB﹣AM=2﹣AM， 222∴（2﹣AM）=x+AM． 22224﹣4AM+AM=x+AM，即4﹣4AM=x， 解得AM=1﹣x．（5分） 所以梯形ADNM的面积S=×AD=×2 2=AM+AF=AM+AM+MF=2AM+AE =2（1﹣x）+x =﹣x+x+2 即所求关系式为s=﹣x+x+2．（8分） （2）s=﹣x+x+2=﹣（x﹣2x+1）+=﹣（x﹣1）+（10分） ∴当AE=x=1时，四边形ADNM的面积S的值最大，最大值是．（12分） 222222 点评： 此题的综合性比较强，涉及面较广，涉及到正方形的性质，线段垂直平分线的性质及勾股定理的运用，在解答此题时要连接ME，过N点作AB的垂线再求解． 26．（2005?西宁）某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为10米．当x等于多少米时，窗户的透光面积最大，最大面积是多少？

考点： 二次函数的应用。 分析： 窗户的透光面积就是外形面积=半圆面积+矩形面积，半圆面积易求，矩形的长为2x，根据材料总长用含x

的式子表示宽，再表示出矩形面积，从而得出窗户的面积表达式，运用函数性质求最大值． 解答： 解：设窗户上半部半圆的半径为x（m），下半部矩形的宽为y（m），窗户面积为S（m）， 则4y+6x+πx=10，y=∵S半圆=πx， S矩形=2x?=222 S=S半圆+S矩形=﹣3x+5x =﹣3[（x﹣）﹣=﹣3（x﹣）+∵﹣3＜0， ∴窗户面积有最大值．当x=时， S最大=（m）， 平方米． 222] ． 所以当窗户的半圆半径为时，窗户的透光面积最大，最大面积是点评： 此题的关键在表示矩形的宽，涉及周长的有关计算问题，是关于周长、面积计算的综合题． 27．（2005?台州）如图，用长为18 m的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃．

2

（1）设矩形的一边为x（m），面积为y（m），求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当x为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少？

考点： 二次函数的应用。 分析： （1）篱笆只有两边，且其和为18，设一边为x，则另一边为（18﹣x），根据公式表示面积；据实际意义，0＜x＜18； （2）根据函数性质求最值，可用公式法或配方法． 解答： 解：（1）由已知，矩形的另一边长为（18﹣x）m 2则y=x（18﹣x）=﹣x+18x 自变量x的取值范围是0＜x＜18． （2）∵y=﹣x+18x=﹣（x﹣9）+81 2∴当x=9时（0＜9＜18），苗圃的面积最大，最大面积是81m． 又解：∵a=﹣1＜0，y有最大值， ∴当x=﹣时（0＜9＜18）， 22

y最大值==81（m）． 2点评： 运用函数性质求最值解决实际问题时常需考虑自变量的取值范围；二次函数求最值常用配方法和公式法． 28．（2005?十堰）农民张大伯为了致富奔小康，大力发展家庭养殖业．他准备用40m长的木栏围一个矩形的羊圈，为了节约材料同时要使矩形的面积最大，他利用了自家房屋一面长25m的墙，设计了如图一个矩形的羊圈． （1）请你求出张大伯矩形羊圈的面积；

（2）请你判断他的设计方案是否合理？如果合理，直接答合理；如果不合理又该如何设计并说明理由．

考点： 二次函数的应用。 专题： 方案型。 分析： （1）木栏只有三面，总长为40，其中长为25，则宽为，易求面积； （2）设长为x，表示出宽和面积，运用函数的性质求出面积最大时的长和宽，然后回答问题． 解答： 解：（1）40﹣25=15故矩形的宽为∴sABCD= （2）设利用xm的墙作为矩形羊圈的长，则宽为设矩形的面积为ym 则y=x?=﹣x+20x=﹣（x﹣20）+200，（5分） 222（1分） ×25=187.5（2分） ， ∵a=﹣＜0， 故当x=20时，y的最大值为200，（7分） ∵200＞187.5， 故张大伯设计不合理，应设计为长20m，宽10m利用20m墙的矩形羊圈．（8分） 点评： 此题的关键在列出函数表达式，然后运用性质求最值，得出最佳方案．通常要考虑自变量的取值范围． 29．（2005?青岛）如图，在矩形ABCD中，AB=6米，BC=8米，动点P以2米/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1米/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动t秒（0＜t＜5）后，四

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边形ABQP的面积为S米．

（1）求面积S与时间t的关系式；

（2）在P、Q两点移动的过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等？若能，求出此时点P的位置；若不能，请说明理由．

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