单点训练(17)二次函数的应用（面积）(6)

长为cm时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为cm． 2 点评： 本题主要考查了矩形的面积的求法，二次函数的应用等知识点，根据面积的计算方法正确的表示出二次函数是解题的关键． 18．（2007?十堰）某农户计划利用现有的一面墙再修四面墙，建造如图所示的长方体水池，培育不同品种的鱼苗．他已备足可以修高为1.5m、长18m的墙的材料准备施工，设图中与现有一面墙垂直的三面墙的长度都为xm，即AD=EF=BC=xm．（不考虑墙的厚度）

3

（1）若想水池的总容积为36m，x应等于多少？

（2）求水池的总容积V与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围； （3）若想使水池的总容积V最大，x应为多少？最大容积是多少？

考点： 二次函数的应用。 专题： 应用题；图表型。 分析： （1）这个水槽是个长方体，我们先看这个矩形的面积，有了AD、EF、BC的长，因为材料的总长度是18m，3因此这个矩形的长应该是18﹣3x，又知道宽为x，又已知了长方体的高，因此可根据长×宽×高=36m来得出关于x的二次方程从而求出x的值． （2）和（1）类似，只需把36立方米换成V即可． （3）此题是求二次函数的最值，可以用配方法或公式法，来求出此时x、y的值． 解答： 解：（1）∵AD=EF=BC=x， ∴AB=18﹣3x ∴水池的总容积为1.5x（18﹣3x）=36， 2即x﹣6x+8=0，解得：x=2或4 答：x应为2m或4m （2）由（1）知V与x的函数关系式为： 2V=1.5x（18﹣3x）=﹣4.5x+27x， x的取值范围是：0＜x＜6 （3）V=﹣4.5x+27x=﹣（x﹣3）+22 ∴由函数图象知：当x=3时，V有最大值40.5 3答：若使水池的总容积最大，x应为3，最大容积为40.5m． 点评： 本题主要考查了二次函数的应用，正确的表示出长方体的体积是解题的关键．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好．

19．（2007?韶关）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图4）．若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym．

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大．

2

考点： 二次函数的应用。 分析： （1）依题意易求得y与x的函数关系式以及x的取值范围． （2）把（1）的函数关系式用配方法化简求得y的最大值即可． 解答： 解：（1）由题意得： x+20x（3分） 自变量x的取值范围是0＜x≤25（4分） （2）y=﹣x+20x =﹣（x﹣20）+200（6分） ∵20＜25， ∴当x=20时，y有最大值200平方米 即当x=20时，满足条件的绿化带面积最大．（8分） 点评： 本题考查的是二次函数的实际应用．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法． 20．（2007?南昌）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6．若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y．

（1）求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）求出△BDE的面积S与x之间的函数关系式；

（3）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少？

222

考点： 二次函数的应用。 专题： 动点型。 分析： （1）由平行线得△ABC∽△ADE，根据相似形的性质得关系式；

（2）s=?BD?AE； （3）运用函数性质求解． 解答： 解：（1）∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC． ∴．（2分） 又∵AD=8﹣2x，AB=8，AE=y，AC=6， ∴∴． ．（3分） 自变量x的取值范围为0≤x≤4．（4分） （2）S=BD?AE=?2x?y（6分） =﹣x+6x（8分） （3）S=﹣x+6x =﹣x+6x+9﹣9 =﹣（x﹣2）+6．（10分） ∴当x=2时，S有最大值，且最大值为6．（11分） 点评： 此题为代数和几何的综合题，考查学生综合运用知识的能力． 21．（2007?兰州）某农场计划建一个养鸡场，为了节约材料，鸡场一边靠着原有的﹣堵墙（墙足够长），另外的部分用30米的竹篱笆围成，现有两种方案：①围成一个矩形（如左图）；②围成一个半圆形（如右图）．设矩形的面积为S1平方米，宽为x米，半圆形的面积为S2平方米，半径为r米，请你通过计算帮助农场主选择一个围成区域

2222面积最大的方案．（π≈3）

考点： 二次函数的应用；二次函数的最值。 专题： 方案型。 分析： 本题的关键是根据题意，按照等量关系“矩形面积=长×宽”“半圆面积=×半径”列出函数关系式，再求其最值． 解答： 解：方案①：S1=x（30﹣2x）（1分） 2=﹣2x+30x =﹣2（x﹣当x=）+2，（2分） 米时， 平方米；（3分） S1取最大值方案②：由30=πr，π≈3，得r=10米，（4分）

S2=πr=×3×100=150平方米，（5分） ∵＜150， 2∴S1＜S2，（6分） ∴应选择方案②．（7分） 点评： 求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，22常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=﹣x﹣2x+5，y=3x﹣6x+1等用配方法求解比较简单． 22．（2006?陕西）王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为60cm的正方形板子；另一块是上底为30cm，下底为120cm，高为60cm的直角梯形板子（如图①）．王师傅想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材．他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形ABCFE围成的区域（如图②）．由于受材料纹理的限制，要求裁出的矩形要以点B为一个顶点． （1）求FC的长；

（2）利用图②求出矩形顶点B所对的顶点到BC边的距离x（cm）为多少时，矩形的面积y（cm）最大？最大面积是多少？

（3）若想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边

2

长． 考点： 二次函数的应用。 专题： 压轴题；分类讨论。 分析： （1）由图形结构可知DE∥CG，容易想到用相似三角形的性质解答； （2）画出图形，根据P点位置，分三种情况讨论：①点P在AE上，②点P在EF上，③点P在FC上．通过观察，易得①③；利用相似三角形的性质可计算出②．利用正方形面积公式，将面积最值问题转化为一元二次方程最值问题解答． 解答： 解：（1）由题意，得△DEF∽△CGF， ∴=， 又∵DE=AD﹣AE=60﹣30=30，DF=DC﹣FC=60﹣FC，CG=120﹣60=60， ∴=， ∴FC=40（cm）；（3分） （2）如图，设矩形顶点B所对顶点为P，则 ①当顶点P在AE上时，x=60，y的最大值为60×30=1800（cm）．（4分） ②当顶点P在EF上时，过点P分别作PN⊥BG于点N，PM⊥AB于点M． 根据题意，得△GFC∽△GPN． ∴=， 2∴NG=x， ∴BN=120﹣x．

∴y=x（120﹣x）=﹣（x﹣40）+2400． ∴当x=40时，y的最大值为2400（cm）．（7分） 2③当顶点P在FC上时，y的最大值为60×40=2400（cm）．（8分） 综合①②③， 得x=40cm时，矩形的面积最大，最大面积为2400cm；（9分） （3）根据题意，正方形的面积y（cm）与边长x（cm）满足的函数表达式为：y=﹣x+120x． 当y=x时，正方形的面积最大， ∴x=﹣x+120x． 解之，得x1=0（舍），x2=48（cm）． ∴面积最大的正方形的边长为48cm．（12分） 22222222 点评： 本题是一道几何应用问题，在解第2题时不要忘了分类讨论求出每一种情况的最大值后再进行比较得出结论，第3小题只需根据题意列出方程就能解决． 23．（2006?恩施州）现有边长为180厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量最大．

某校九年级（2）班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为此，他们对水槽的横截面，进行了如下探索： （1）方案①：把它折成横截面为矩形的水槽，如图．

若∠ABC=90°，设BC=x厘米，该水槽的横截面面积为y厘米，请你写出y关于x的函数关系式（不必写出x的取值范围），并求出当x取何值时，y的值最大，最大值又是多少？ 方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽，如图．

若∠ABC=1 20°，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的y的最大值比较大小．

（2）假如你是该兴趣小组中的成员，请你再提供一种方案，使你所设计的水槽的横截面面积更大．画出你设计的草图，标上必要的数据（不要求写出解答过程）．

2

考点： 二次函数的应用。 专题： 压轴题；方案型。 分析： （1）根据题目所给的x的值和矩形梯形的性质，求出各线段长，把面积用含y的代数式表示出来； （2）先猜想截面的形状，再进行验证计算，可多设计几种方案． 解答： 2解：（1）①当BC=x时，AB=CD=，y=x，即y=﹣x+90x， 当x=90时，ymax=4050 2答：当x=90cm时，y值最大，最大值是4050cm． ②过B、C点分别作BE⊥AD于E，CE⊥AD于F．

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