单点训练(17)二次函数的应用（面积）(5)

点评： 求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题主要考查二次函数的运用，运算较复杂，难度偏难． 14．（2009?莱芜）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点．MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆，△EMN是随MN滑动而变化的三角通风窗（阴影部分均不通风）． （1）当MN和AB之间的距离为0.5米时，求此时△EMN的面积．

（2）设MN与AB之间的距离为x米，试将△EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数．

（3）请你探究△EMN的面积S（平方米）有无最大值？若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．

考点： 二次函数的应用。 分析： （1）当MN和AB之间的距离为0.5米时，MN位于DC下方，此时△EMN中MN边上的高为0.5米，根据三角形的面积公式即可求出△EMN的面积； （2）分两种情况讨论：①当0＜x≤1时，根据三角形的面积公式直接得出△EMN的面积S与x的函数解析式；②当1＜x＜1+时，连接EG，交CD于点F，交MN于点H，先求FG，再证△MNG∽△DCG，继而得出△EMN的面积S与x的函数解析式； （3）先分两种情况讨论：①当0＜x≤1时，S=x，根据一次函数的性质解答；②当1＜x＜1+（1+）x．由二次函数的性质可知，在对称轴时取得最大值．再比较即可． 时，S=﹣x+2解答： 解：（1）由题意，当MN和AB之间的距离为0.5米时，MN应位于DC下方，且此时△EMN中MN边上的高为0.5米． 则S△EMN=×2×0.5=0.5（平方米）． 即△EMN的面积为0.5平方米； （2）分两种情况： ①如图1所示，当MN在矩形区域滑动，即0＜x≤1时，

△EMN的面积S=×2×x=x； ②如图2所示，当MN在三角形区域滑动，即1＜x＜1+如图，连接EG，交CD于点F，交MN于点H， ∵E为AB中点， ∴F为CD中点，GF⊥CD，且FG=． 又∵MN∥CD， ∴△MNG∽△DCG， =， ×x=﹣x+（1+2时， ∴MN=故△EMN的面积S=×）x． 综合可得：S= （3）分两种情况： ①当MN在矩形区域滑动，即0＜x≤1时，S=x， ∵S随x的增大而增大， 又∵0＜x≤1， ∴当x=1时，S有最大值1； ②当MN在三角形区域滑动，即1＜x＜1+时，S=﹣； x+（1+2）x， ∴当x=﹣=时，S有最大值，此时最大值S==+． ∵+＞1， ）平方米． ∴S有最大值，最大值为（+

点评： 本题考查函数模型的建立与应用，主要涉及了三角形面积公式，分段函数求最值等解题方法． 15．（2009?吉林）某数学研究所门前有一个边长为4米的正方形花坛，花坛内部要用红、黄、紫三种颜色的花草种植成如图所示的图案，图案中AE=MN．准备在形如Rt△MEH的四个全等三角形内种植红色花草，在形如Rt△AEH的四个全等三角形内种植黄色花草，在正方形MNPQ内种植紫色花草，每种花草的价格如下表： 品 种 红色花草 黄色花草 紫色花草 280 120 价格（元/米） 60 设AE的长为x米，正方形EFGH的面积为S平方米，买花草所需的费用为W元，解答下列问题： 222

（1）S与x之间的函数关系式为S= x+（4﹣x）或2x﹣8x+16． ； （2）求W与x之间的函数关系式，并求所需的最低费用是多少元； （3）当买花草所需的费用最低时，求EM的长．

考点： 二次函数的应用。 专题： 图表型。 分析： （1）依题意可知S=EH2，又EH2=AE2+AH2，代入数据可得S=x2+（4﹣x）2 （2）由二次函数的性质，通过配方的方法求得最大值 （3）根据相关关系列出方程，解方程即可得出答案 解答： 解：（1）由分析（1）可得答案 222S=x+（4﹣x）或2x﹣8x+16．（2分） （2）W=60×4S△AEH+80（S正方形EFGN﹣S正方形MNPQ）+120S正方形MNPQ =60×4×x（4﹣x）+80[x+（4﹣x）﹣x]+120x（4分） =80x﹣160x+1280．（5分） 2配方得W=80（x﹣1）+1200．（6分） ∴当x=1时，W最小值=1200元．（7分） （3）因为四个黄颜色的直角三角形全等，所以EM=QH， 设EM=a米，则MH=MQ+QH=MQ+EM=（a+1）米． 2222在Rt△EMH中，a+（a+1）=1+3， 解得∵a＞0 22222

∴∴EM的长为 米．（10分） 点评： 求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，22常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=﹣x﹣2x+5，y=3x﹣6x+1等用配方法求解比较简单． 16．（2009?贵阳）如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃．设花圃的一边AB为xm，面积为ym． （1）求y与x的函数关系式；

2

（2）如果要围成面积为63m的花圃，AB的长是多少？

2

（3）能围成比63m更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积；如果不能，请说明理由．

2

考点： 二次函数的应用。 专题： 压轴题。 分析： 本题利用矩形面积公式建立函数关系式，A：利用函数关系式在已知函数值的情况下，求自变量的值，由于是实际问题，自变量的值也要受到限制．B：利用函数关系式求函数最大值． 解答： 解：（1）由题意得： 2y=x（30﹣3x），即y=﹣3x+30x． （2）当y=63时，﹣3x+30x=63． 解此方程得x1=7，x2=3． 当x=7时，30﹣3x=9＜10，符合题意； 当x=3时，30﹣3x=21＞10，不符合题意，舍去； 2∴当AB的长为7m时，花圃的面积为63m． （3）能． 22y=﹣3x+30x=﹣3（x﹣5）+75 而由题意：0＜30﹣3x≤10， 即≤x＜10 2又当x＞5时，y随x的增大而减小， ∴当x=m时面积最大，最大面积为m． 2点评： 根据题目的条件，合理地建立函数关系式，会判别函数关系式的类别，从而利用这种函数的性质解题． 17．（2008?聊城）如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．

2

（1）要使长方体盒子的底面积为48cm，那么剪去的正方形的边长为多少；

（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；

（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．

考点： 二次函数的应用；一元二次方程的应用。 专题： 压轴题。 分析： （1）可设正方形的边长为x，可根据矩形的面积公式，用x表示出长方体盒子底面的长和宽，得出方程求出x的值． （2）同（1）先用x表示出不同侧面的长，然后根据矩形的面积将4个侧面的面积相加，得出关于侧面积和正方形边长的函数式，然后根据函数的性质和自变量的取值范围来得出侧面积的最大值． （3）方法同（2）只不过要分两种情况进行讨论，一种是在矩形的长边剪去2个小长方形（如图1），一种是在矩形的宽上剪去两个小长方形（如图2）． 解答： 解：（1）设正方形的边长为xcm，则（10﹣2x）（8﹣2x）=48． 即x﹣9x+8=0． 解得x1=8（不合题意，舍去），x2=1． ∴剪去的正方形的边长为1cm． （2）有侧面积最大的情况． 2设正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm， 则y与x的函数关系式为： y=2（10﹣2x）x+2（8﹣2x）x． 即y=﹣8x+36x．（0＜x＜4） 改写为y=﹣8（x﹣）+222． ∴当x=2.25时，y最大=40.5． 2即当剪去的正方形的边长为2.25cm时，长方体盒子的侧面积最大为40.5cm． （3）有侧面积最大的情况． 2设正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm． 若按图1所示的方法剪折，则y与x的函数关系式为： y=2（8﹣2x）x+2?即y=﹣6（x﹣∴当x=）+2?x． ． ． 时，y最大=若按图2所示的方法剪折，则y与x的函数关系式为： y=2（10﹣2x）x+2?即y=﹣6（x﹣）+∴当x=时，y最大=2?x． ． ． 比较以上两种剪折方法可以看出，按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边

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