江苏省连云港2012年中考数学真题试题（带解析）(5)

点评： 这道函数题综合了图形的旋转、面积的求法等知识，考查的知识点不多，难度适中．

26．(2012?连云港)如图，甲、乙两人分别从A(1，

)、B(6，0)两点同时出发，点O为坐

标原点，甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行驶，th后，甲到达M点，乙到达N点．

(1)请说明甲、乙两人到达O点前，MN与AB不可能平行． (2)当t为何值时，△OMN∽△OBA？

(3)甲、乙两人之间的距离为MN的长，设s＝MN2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．

考点： 相似三角形的性质；坐标与图形性质；二次函数的最值；勾股定理；解直角三角形。 分析： (1)用反证法说明．根据已知条件分别表示相关线段的长度，根据三角形相似得比例

式说明；

(2)根据两个点到达O点的时间不同分段讨论解答；

(3)在不同的时间段运用相似三角形的判定和性质分别求解析式，运用函数性质解答问题．

解答：

解：(1)因为A坐标为(1，)，

所以OA＝2，∠AOB＝60°． 因为OM＝2－4t，ON＝6－4t，

当＝时，解得t＝0，

即在甲、乙两人到达O点前，只有当t＝0时，△OMN∽△OAB，所以MN与AB不可能平行；

(2)因为甲达到O点时间为t＝，乙达到O点的时间为t＝＝，所以甲先到达O点，所以t＝或t＝时，O、M、N三点不能连接成三角形，

①当t＜时，如果△OMN∽△OAB，则有不可能相似△OBA；

＝，解得t＝2＞，所以，△OMN 21 - -

②当＜t＜时，∠MON＞∠AOB，显然△OMN不相似△OBA；

③当t＞时，

＝，解得t＝2＞，所以当t＝2时，△OMN∽△OBA；

(3)①当t≤时，如图1，过点M作MH⊥x轴，垂足为H， 在Rt△MOH中，因为∠AOB＝60°， 所以MH＝OMsin60°＝(2－4t)×

＝

(1－2t)，

OH＝0Mcos60°＝(2－4t)×＝1－2t， 所以NH＝(6－4t)－(1－2t)＝5－2t，

所以s＝[

(1－2t)]2＋(5－2t)2＝16t2－32t＋28

②当＜t≤时，如图2，作MH⊥x轴，垂足为H， 在Rt△MNH中，MH＝所以s＝[

(4t－2)＝

(2t－1)，NH＝(4t－2)＋(6－4t)＝5－2t，

(1－2t)]2＋(5－2t)2＝16t2－32t＋28

当t＞时，同理可得s＝[综上所述，s＝[

(1－2t)]2＋(5－2t)2＝16t2－32t＋28，

(1－2t)]2＋(5－2t)2＝16t2－32t＋28．

因为s＝16t2－32t＋28＝16(t－1)2＋12，

所以当t＝1时，s有最小值为12，所以甲、乙两人距离最小值为2

km．

点评： 此题综合考查了坐标与图形、相似三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的应用

22 - -

等知识点，难度较大．

27．(2012?连云港)已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，

问题1：如图1，P为AB边上的一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？

问题2：如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．

问题3：若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE＝PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．

问题4：如图3，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE＝nPA(n为常数)，以PE、PB为边作平行四边形PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．

考点： 相似三角形的判定与性质；根的判别式；全等三角形的判定与性质；勾股定理；平

行四边形的判定与性质。

专题： 代数几何综合题。 分析： 问题1：四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，

然后利用矩形的性质，设PB＝x，可得方程x2＋32＋(2－x)2＋1＝8，由判别式△＜0，可知此方程无实数根，即对角线PQ，DC的长不可能相等； 问题2：在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，可得G是DC的中点，过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，易证得Rt△ADP≌Rt△HCQ，即可求得BH＝4，则可得当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4；

问题3：设PQ与DC相交于点G，PE∥CQ，PD＝DE，可得

＝

＝，易证得

Rt△ADP∽Rt△HCQ，继而求得BH的长，即可求得答案；

问题4：作QH∥PE，交CB的延长线于H，过点C作CK⊥CD，交QH的延长线于K，易证得

＝

与△ADP∽△BHQ，又由∠DCB＝45°，可得△CKH是等腰直角三角

形，继而可求得CK的值，即可求得答案．

解答： 解：问题1：∵四边形PCQD是平行四边形，

若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形， ∴∠DPC＝90°，

∵AD＝1，AB＝2，BC＝3，

∴DC＝2

，

设PB＝x，则AP＝2－x，

23 - -

在Rt△DPC中，PD2＋PC2＝DC2，即x2＋32＋(2－x)2＋1＝8， 化简得x2－2x＋3＝0，

∵△＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0， ∴方程无解，

∴对角线PQ与DC不可能相等．

问题2：如图2，在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G， 则G是DC的中点，

过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H， ∵AD∥BC，

∴∠ADC＝∠DCH，即∠ADP＋∠PDG＝∠DCQ＋∠QCH， ∵PD∥CQ，

∴∠PDC＝∠DCQ， ∴∠ADP＝∠QCH， 又∵PD＝CQ，

∴Rt△ADP≌Rt△HCQ， ∴AD＝HC，

∵AD＝1，BC＝3， ∴BH＝4，

∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4．

问题3：如图3，设PQ与DC相交于点G， ∵PE∥CQ，PD＝DE， ∴

＝

＝，

∴G是DC上一定点，

作QH⊥BC，交BC的延长线于H， 同理可证∠ADP＝∠QCH， ∴Rt△ADP∽Rt△HCQ， 即

＝

＝，

∴CH＝2，

∴BH＝BG＋CH＝3＋2＝5，

∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为5．

问题4：如图3，设PQ与AB相交于点G， ∵PE∥BQ，AE＝nPA， ∴

＝

，

∴G是DC上一定点，

作QH∥PE，交CB的延长线于H，过点C作CK⊥CD，交QH的延长线于K， ∵AD∥BC，AB⊥BC，

∴∠D＝∠QHC，∠DAP＋∠PAG＝∠QBH＋∠QBG＝90°，∠PAG＝∠QBG， ∴∠QBH＝∠PAD，

24 - -

∴△ADP∽△BHQ， ∴

，

∵AD＝1， ∴BH＝n＋1，

∴CH＝BH＋BC＝3＋n＋1＝n＋4， 过点D作DM⊥BC于M， 则四边形ABND是矩形， ∴BM＝AD＝1，DM＝AB＝2

∴CM＝BC－BM＝3－1＝2＝DM， ∴∠DCM＝45°， ∴∠KCH＝45°， ∴CK＝CH?cos45°＝

(n＋4)，

(n＋4)．

∴当PQ⊥CD时，PQ的长最小，最小值为

点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、直角梯形的性质、平行四边形的性质、矩形

的性质、勾股定理、一元二次方程根的判别式、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识．此题难度较大，注意准确作出辅助线是解此题的关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．

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