北师大版必修一复习2.2 对函数的进一步认识（共3讲）(6)

[研一题]

[例3] 已知A＝{a，b，c}，B＝{－1，0，1}，映射f：A→B满足f(a)·f(b)＝f(c)，求映射f：A→B的个数．

[自主解答] 由于f(a)、f(b)、f(c)∈{－1，0，1}， 故f(a)·f(b)＝f(c)时，f(a)、f(b)、f(c)取值的情况如表所示：

f(a) 1 －1 1 －1 －1 0 0 1 0

由表可知这样的映射有9个．

若将本例中f(a)·f(b)＝f(c)变为f(a)＋f(b)＝f(c)，则映射个数有多少？

解：由于f(a)、f(b)、f(c)∈{－1，0，1}，故符合f(a)＋f(b)＝f(c)条件的f(a)、f(b)、f(c)的取值情况如表所示：

f(a) f(b) f(c)

由上表可知，所求映射有7个．

[悟一法]

对于两个集合间映射个数的问题，常见的题目有两类，一类是给定两个集合A，B，问由A→B可建立的映射的个数．这类问题与A，B中元素的个数有关系．一般地，若A中有m个元素，B中有n个元素，则从A→B共有nm个不同的映射．另一类是含条件的映射个数的确定如本例．解决这类问题一定要注意对应关系所满足的条件，要采用分类讨论的思想方法来解决．

[通一类]

3．已知集合A＝{a，b，c}，B＝{－1，1，2}，映射f：A→B，

0 0 0 1 0 1 0 1 1 －1 0 －1 0 －1 －1 1 －1 0 －1 1 0 f(b) －1 1 1 －1 0 －1 0 0 1 f(c) －1 －1 1 1 0 0 0 0 0 (1)求映射f：A→B的个数；

(2)若f：A→B满足f(a)＋f(b)＝f(c)，求映射f：A→B的个数．

解：(1)根据映射的定义，集合A中的每一个元素．在集合B中都有唯一的像，所以f：A→B可构成不同映射的个数为33＝27(个)；

(2)由于f(a)、f(b)、f(c)∈{－1，1，2}，故符合f(a)＋f(b)＝f(c)条件的f(a)，f(b)，f(c)的取值情况如表所示：

f(a) 1 －1 2

由上表可知，所求的映射有3个.

设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n＋n，则在映射f作用下，像20的原像是( )

A．2 C．4

B．3 D．5

f(b) 1 2 －1 f(c) 2 1 1 [巧思] 抓住A、B都是自然数集合，对不能用基本方法解决的方程2n＋n＝20进行分类讨论求解．

[妙解] 依题意得2n＋n＝20，分别用n＝2，3，4，5代入． 当n＝2时，22＋2≠20，排除A； 当n＝3时，23＋3≠20，排除B； 当n＝5时，25＋5≠20，排除D； 当n＝4时，24＋4＝20，C正确． [答案] C

1．设f：A→B是从A到B的映射，那么下列说法正确的是( ) A．A中任何不同的元素必有不同的像 B．A中任何一个元素在B中的像是唯一的

C．B中任何一个元素在A中必有原像 D．B中一定存在元素在A中没有原像 答案：B

2．设A＝{a，b，c}，B＝{x，y，z}，下面从A到B的对应中是从A到B的映射的有( )

A．①②③ C．①②④ 答案：A

3．下列各组中，集合P与M能建立一一映射的是( ) A．P＝{0}，M＝

B．P＝{1，2，3，4，5}，M＝{2，4，6，8} C．P＝{有理数}，M＝{有序实数对} D．P＝{平面上的点}，M＝{有序实数对} 答案：D

4．下列对应f是从集合A到集合B的函数是________． (1)A＝{1，2，3}，B＝{7，8，9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8；

(2)A＝Z，B＝{－1，1}，n为奇数时，f(n)＝－1；n为偶数时，f(n)＝1； (3)A＝B＝{1，2，3}，f(x)＝2x－1.

解析：对于(1)，集合A中的元素没有剩余，即A中的任何一个元素在B中都有唯一确定的像，同时集合A和B都是数集，可知对应f是集合A到集合B的函数；

同理，对于(2)，对应f也是集合A到集合B的函数；

对于(3)，由于f(3)＝2×3－1＝5B，即集合A中的元素3在集合B中没有像．∴对应f不是集合A到集合B的函数．

答案：(1)(2)

5．根据下列所给的对应关系，回答问题． ①A＝N＋，B＝Z，f：x→y＝3x＋1，x∈A，y∈B；

②A＝{x|x为高一(2)班的同学}，B＝{x|x为身高}，f：每个同学对应自己的身高； 1③A＝R，B＝R，f：x→y＝，x∈A，y∈B.

x＋|x|

B．①③④ D．②③④

上述三个对应关系中，是映射的是________，是函数的是________．

解析：①对x∈A，在f：x→y＝3x＋1作用下在B中都有唯一的像，因此能构成映射，又A、B均为数集，因而能构成函数；对于②可以构成映射，但A、B不是数集，故构不成函数关系；对于③A中的元素－1在B中无元素与之相对应，故构不成映射，也构不成函数关系．

答案：①② ①

6．已知(x，y)在f作用下的像是(x＋y，xy)． (1)求(－2，3)在f作用下的像； (2)求(2，－3)在f作用下的原像．

解：(1)∵x＝－2，y＝3，∴x＋y＝－2＋3＝1， xy＝(－2)×3＝－6.

∴(－2，3)在f作用下的像是(1，－6)；

???x＋y＝2，?x1＝3，??x2＝－1，

?(2)易知?解得?

?xy＝－3，?y1＝－1，??y2＝3，??

∴(2，－3)在f作用下的原像是(3，－1)和(－1，3)．

一、选择题

1．已知集合A＝{a1，a2}，集合B＝{－1，1}，下列对应不是A到B的映射的是( )

解析：A、B、D均满足映射定义，C不满足任一A中元素在B中有唯一元素与之对应． 答案：C

1

2．已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{y|0≤y≤2}，下列由A到B的对应：①f：x→y＝x，

2②f：x→y＝x，③f：x→y＝－|x|.④f：x→y＝x－2.

其中能构成映射的是( ) A．①② C．③④

B．①③ D．②④

1

解析：对于①，当0≤x≤4时，0≤x≤2，显然对于A中的任意元素x，B中有唯一的元素

2y与之对应，是映射；

对于②，也符合映射的定义； 对于③，0≤x≤4时，－4≤－|x|≤0， 显然－|x|?(0，2]，不是映射；

对于④，0≤x≤4时，－2≤x－2≤2，当0≤x<2时，B中没有像与之对应，也不符合映射的定义．

故只有①②正确． 答案：A

3．设集合A，B都是坐标平面上的点集{(x，y)|x∈R，y∈R}，映射f：A→B使集合A中的元素(x，y)映射成集合B中的元素(x＋y，x－y)，则在f下，像(2，1)的原像为( )

A．(3，1) 31

，－? C.?2??2

31?B.??2，2? D．(1，3)

3

?x＝2，??x＋y＝2，

?解析：∵∴?1 ?x－y＝1，?

?y＝2.

答案：B

4．集合A＝{a，b}，B＝{－1，0，1}从A到B的映射f：A→B满足f(a)＋f(b)＝0，那么这样的映射f：A→B的个数有( )

A．2个 C．5个

B．3个 D．8个

解析：由f(a)，f(b)∈{－1，0，1}，且f(a)＋f(b)＝0知，这样的映射有：

共3个．

答案：B 二、填空题

5．f：A→B是集合A到集合B的映射，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(kx，y＋b)，若B中的元素(6，2)，在此映射下的原像是(3，1)，则k＝________，b＝______．

???3k＝6，?k＝2，

?解析：由解得? ?1＋b＝2，?b＝1.??

答案：2 1

6．设A到B的映射f1：x→2x＋1，B到C的映射f2：y→y2－1，则A到C的映射f：________． 解析：x→(2x＋1)2－1＝4x2＋4x. 答案：x→4x2＋4x

111

7．已知集合A到集合B＝{0，1，，}的映射f：x→，那么集合A中的元素最多有

23|x|________个．

解析：∵|±1|＝1，

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