北师大版必修一复习2.2 对函数的进一步认识（共3讲）(2)

1．下列表达式中，表示函数的是( ) A．y＝－x2－1

??x，（x≥0）

C．y＝?

?0，（－1＜x＜0）?

2

??x，（x≥0）

B．y＝?

?1，（x≤0）?

D．y2＝x

解析：对于A，∵－x2－1＜0， ∴根式无意义，不表示函数；

对于B，当x＝0时对应的函数值有两个，不符合函数的定义； 对于D，任意x，与x对应的y值不唯一，因此也不表示函数． 答案：C

2．下列两个函数完全相同的是( ) x2

A．y＝与y＝x

x

B．y＝x2与y＝x 3

D．y＝x3与y＝x

C．y＝(x)2与y＝x

x2

解析：A中y＝的定义域为{x|x≠0}，而y＝x的定义域为R，A错；

xC中y＝(x)2的定义域为[0，＋∞)，而y＝x的定义域为R，C错； B中y＝x2＝|x|与y＝x的对应关系不同，所以B错； 3D中y＝x3＝x与y＝x定义域与对应关系均相同，故D对． 答案：D

3．下列函数中，与函数y＝A．f(x)＝

1

＋x＋1 x

1

有相同定义域的是( ) x1

B．f(x)＝ xD．f(x)＝x＋－x

C．f(x)＝|x| 解析：函数y＝

1

的定义域为{x|x＞0}． x

对于A，要使函数有意义，

?x＞0，?

需满足?即x＞0，

?x＋1≥0，?

因此定义域为{x|x＞0}；

B中函数的定义域为{x|x≠0，x∈R}； C中函数的定义域为R；

??x≥0，对于D，要使函数有意义，需满足?即x＝0，因此定义域为{x|x＝0}．

?－x≥0，?

答案：A

4．用区间表示下列数集． (1){x|x≥2}＝________； (2){x|3＜x≤4}＝________； (3){x|x＞1且x≠2}＝________．

解析：由区间的定义，可将集合写成相应区间． 答案：(1)[2，＋∞) (2)(3，4] (3)(1，2)∪(2，＋∞) 5．(2012·广东高考)函数y＝

x＋1

的定义域为________． x

??x＋1≥0，

解析：要使函数有意义，需使?所以函数的定义域为{x|x≥－1且x≠0}．

?x≠0，?

答案：{x|x≥－1且x≠0}

6．某农场的防洪大堤的横断面是上底为a＝3 m的梯形，梯形的高h随地势在1 m到5 m间变化，下底b和高h之间有关系b＝a＋4h.

(1)试用解析表达式将横断面面积表示为堤高的函数； (2)确定函数的定义域和值域．

解：(1)设h＝x m，y＝S(x)(单位：m2)表示大堤的横断面面积，根据题意和梯形面积公式可得函数的解析表达式：

（a＋b）h

y＝S(x)＝ 2＝

x（3＋3＋4x）

2

＝x(3＋2x) ＝2x2＋3x.

(2)根据题意函数的定义域为[1，5]， 39

由S(x)＝2x2＋3x＝2(x＋)2－，x∈[1，5]，

48得S(x)∈[5，65]， 函数的值域为[5，65]．

一、选择题

1．下列各组函数是同一函数的是( ) A．y＝(3x－2)0与y＝1

B．y＝2x＋3与y＝4x2＋12x＋9 x2－4

C．y＝与y＝x＋2

x－23D．y＝（2x－1）3与y＝2x－1

2

解析：对于A，y＝(3x－2)0＝1但其定义域为{x|x≠}．而y＝1定义域为R，故A不正

3确．

对于B，y＝4x2＋12x＋9＝|2x＋3|，其与y＝2x＋3对应关系不同． x2－4

对于C，y＝与y＝x＋2，定义域不同．

x－2

3对于D，y＝（2x－1）3＝2x－1，与y＝2x－1一致． 答案：D

2．y＝f(x)的图像如图，则函数的定义域是( ) A．[－5，6) B．[－5，0]∪[2，6] C．[5，0)∪[2，6) D．[－5，0]∪[2，6)

解析：由图像结合函数定义域的定义知，x∈[－5，0]∪[2，6)． 答案：D

3．函数f(x)＝2x－3＋7－x的定义域为( ) 3

A．(，7]

23

C．[，＋∞)

2

B．(－∞，17] 3

D．[，7]

2

??2x－3≥0，3

解析：要使函数有意义，需?解得：≤x≤7，

2?7－x≥0.?

3

所以函数的定义域为[，7]．

2答案：D

4．给出函数f(x)，g(x)如下表，则f(g(x))的值域为( )

x f(x) 1 4 2 3 3 2 4 1

x g(x)

A.{4，2}

B．{1，3}

D．以上情况都有可能

1 1 2 1 3 3 4 3 C．{1，2，3，4}

解析：由表中的对应关系可知，f(g(1))＝f(g(2))＝f(1)＝4，f(g(3))＝f(g(4))＝f(3)＝2，∴f(g(x))的值域为{4，2}．

答案：A 二、填空题

5．已知函数f(x)＝x2＋|x－2|，则f(f(1))＝________． 解析：f(1)＝12＋|1－2|＝1＋1＝2， ∴f(f(1))＝f(2)＝22＋|2－2|＝4. 答案：4

6．有下列三个命题

①y＝|x|，x∈{－2，－1，0，1，2，3}， 则它的值域是{0，1，4，9}； x2－1②y＝，则它的值域为R；

x－1③y＝x－1，则它的值域为{y|y≥0}． 其中正确的命题的序号是________．

解析：对于①，当x＝－2，－1，0，1，2，3时， |x|＝2，1，0，1，2，3.

∴函数的值域为{0，1，2，3}．故①不正确； （x＋1）（x－1）对于②，y＝＝x＋1(x≠1)，

x－1∴x＝y－1≠1，∴y≠2.

即值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．∴②不正确； 对于③，y＝x－1≥0，∴值域为[0，＋∞)，③正确． 答案：③ 7．函数f(x)＝

的定义域是________．

x－1－xx

x－1－x≠0，??

解析：要使函数有意义，须使?1－x≥0，

??x≥0.

1

即0≤x≤1且x≠.

2

11

∴f(x)的定义域为[0，)∪(，1]．

2211

答案：[0，)∪(，1]

22

3cx?

x≠－?满足f(f(x))＝x，则c＝________． 8．已知函数f(x)＝2?2x＋3?cxc·2x＋3cx

解析：∵f(f(x))＝f?2x＋3?＝＝x，

cx??

2·＋32x＋3化简，得(2c＋6)x2＋9x＝c2x，

?2c＋6＝0，??2∴∴c＝－3. ?c＝9，?

答案：－3 三、解答题

9．如图所示，用长为L的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆形的半径为x，求此框架围成的图形的面积y与x的函数关系式y＝f(x)，并写出它的定义域．

解：由已知得AB＝2x，CD的长为πx， L－2x－πx则AD＝，

2L－2x－πxπx2

故y＝2x·＋，

22π＋42

即y＝－x＋Lx.

2

2x>0，??L由?L－2x－πx得0

π＋2>0，?2?

L

所以函数的定义域为(0，)．

π＋2x2

10．已知函数f(x)＝.

1＋x2111

(1)分别计算f(2)＋f()，f(3)＋f()，f(4)＋f()的值；

234(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明；

1111

(3)利用(2)中结论计算f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 013)＋f()＋f()＋f()＋…＋f()．

2342 013

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