北师大版必修一复习2.2 对函数的进一步认识（共3讲）

2．1 函 数 概 念

[读教材·填要点]

1．函数的概念

给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B，或y＝f(x)，x∈A.此时，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域，习惯上称y是x的函数．

2．区间与无穷的概念 (1)区间：

设a，b是两个实数，而且a＜b，规定如下表：

定义 {x|a≤x≤b} {x|a＜x＜b} {x|a≤x＜b} {x|a＜x≤b}

这里实数a，b都叫作相应区间的端点． (2)无穷大的概念及无穷区间： 定义 符号 [小问题·大思维]

1．函数定义中的集合A，B一定是非空数集吗？

提示：A，B一定是非空数集，否则构不成集合A到B的函数关系． 2．函数定义中对集合A中元素有什么要求？对B中元素有同样要求吗？

提示：对集合A中元素有两个要求，其一，全部参与对应，其二，每个元素在B中对应的元素唯一；而对B中元素没此要求．

3．试分析构成函数有几个要素？

R (－∞，＋∞) {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x＞a} (a，＋∞) {x|x≤b} (－∞，b] {x|x＜b} (－∞，b) 名称 闭区间 开区间 左闭右开区间 左开右闭区间 符号 [a，b] (a，b) [a，b) (a，b] 几何表示 提示：三个要素：对应关系f，定义域A和值域{f(x)|x∈A}．

[研一题]

[例1] 试判断以下各组函数是否表示同一函数： 3(1)f(x)＝x2，g(x)＝x3； (2)f(x)＝(x)2，g(x)＝x2； (3)f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1.

3[自主解答] (1)由于f(x)＝x2＝|x|，g(x)＝x3＝x，故它们的对应关系不相同，所以它们不表示同一函数．

(2)由于函数f(x)＝(x)2的定义域为{x|x≥0}，而g(x)＝x2的定义域为{x|x∈R}，它们的定义域不同，所以它们不表示同一函数．

(3)两个函数的定义域和对应关系都相同，所以它们表示同一函数．

[悟一法]

函数由定义域，值域和对应法则三要素构成．其中值域由定义域和对应法则确定，因此只要定义域和对应法则相同就表示同一函数．

[通一类]

1．下列各组函数是否表示同一个函数？ (1)f(x)＝2x＋1与g(x)＝4x2＋4x＋1； x2－x(2)f(x)＝与g(x)＝x－1；

x

??t－1，t≥1，

(3)f(x)＝|x－1|与g(x)＝?

?1－t，t＜1；?

(4)f(n)＝2n－1与g(n)＝2n＋1(n∈Z)．

解：(1)g(x)＝|2x＋1|，f(x)与g(x)的对应关系不同，因此是不同的函数； (2)f(x)＝x－1(x≠0)，f(x)与g(x)的定义域不同，因此是不同的函数；

?x－1，x≥1，?

(3)f(x)＝?f(x)与g(x)的定义域相同，对应关系相同，因此是相同的函数；

??1－x，x＜1，

(4)f(x)与g(x)的定义域和对应关系都不同．因此是不同的函数.

[研一题]

[例2] (1)求函数f(x)＝

4－x

的定义域； x＋1

11

＋的定义域，并用区间表示． 2－xx

(2)求函数f(x)＝2x＋3－

???4－x≥0，?x≤4，

[自主解答] (1)要使f(x)有意义，需有?解之得?

??x＋1≠0.x≠－1.??

所以f(x)的定义域为：(－∞，－1)∪(－1，4]；

2x＋3≥0，??113

(2)要使函数f(x)＝2x＋3－＋有意义，必须?2－x＞0，所以－≤x＜2且x≠0，

22－xx??x≠0.33

故函数的定义域为{x|－≤x＜2且x≠0}，区间表示为[－，0)∪(0，2)．

22

[悟一法]

(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.

(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合．

(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合．

(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集)．

(5)对于由实际背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约．

[提醒] 定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．

[通一类]

2．将进货单价为8元的商品按10元1个销售时，每天可卖出100个，若这种商品的销售单价每涨1元，日销售量就减少10个，请你用解析表达式表示每天的销售利润y随销售单价x(元)变化的函数关系，并求出函数的定义域．

解：根据题意，每天的销售量为[100－10(x－10)]个． 则y＝(x－8)[100－10(x－10)]＝10(x－8)(20－x)

??x≥10，

由?得10≤x≤20， ?100－10（x－10）≥0，?

所以函数的定义域为[10，20]．

[研一题]

[例3] 已知f(x)＝

1

(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)． 1＋x

(1)求f(2)，g(2)的值； (2)求f(g(2))的值； (3)求f(x)，g(x)的值域．

111

[自主解答] (1)∵f(x)＝.∴f(2)＝＝.

1＋x1＋23∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6； (2)f(g(2))＝f(6)＝

11＝； 1＋67

1

(3)f(x)＝的定义域为{x|x≠－1}，

x＋1∴值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，

g(x)＝x2＋2的定义域为R，最小值是2， ∴值域为[2，＋∞)．

[悟一法]

(1)求函数值的方法，只需根据对应关系f 的具体含义代入求解即可，但对于求f(g(x))类型的函数值，应遵循先内后外的原则．

(2)求函数值域的方法：

①图像法：借助于函数值域的几何意义，利用函数的图像求值域；

②观察法：对于解析式比较简单的函数，利用常见的结论如x2≥0，|x|≥0，x≥0等观察出函数的值域；

③配方法：对于二次函数常用此法；

④换元法：利用换元法转化为求常见函数(如：二次函数)的值域等．

[通一类]

3．求下列函数的值域 x4

(1)y＝4(x∈R)；

x＋1(2)y＝2x－x－1.

x41

解：(1)y＝4＝1－4，而x4＋1≥1，

x＋1x＋1即0＜

1

≤1，∴0≤y＜1.故值域为[0，1)； x＋1

4(2)令x－1＝t，则t≥0，x＝t2＋1， 115

∴y＝2(t2＋1)－t＝2t2－t＋2＝2(t－)2＋.

481515

∵t≥0，∴y≥.∴函数的值域是[，＋∞).

88

1

函数y＝的定义域是________．

11＋

x1x

[错解] y＝＝，

1x＋11＋

x

∴要使函数有意义，需满足x＋1≠0，解得x≠－1. ∴函数的定义域为{x|x∈R，且x≠－1}．

[错因] 上述解答貌似简捷，但结果却是错误的，这是因为从原函数式来看，要使原函1数有意义，必须同时满足1＋≠0.而上述解法改变了函数式之后，要求却变为x＋1≠0.这显然

x不妥，一般来说，求函数的定义域必须按照原函数式来求解，不可化简后再求函数的定义域．

1

[正解] 要使函数有意义，必须满足x≠0且1＋≠0，即满足x≠0且x≠－1.

x∴此函数定义域为{x|x∈R，x≠0且x≠－1}． [答案] {x|x∈R，x≠0且x≠－1}

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