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1997年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
3sinx?x2cos1(1)limxx?0(1?cosx)ln(1?x)=_____________.
(2)设幂级数???a1nxn的收敛半径为3,则幂级数?nan(x?1)n?的收敛区间为_____________.
n?1n?1(3)对数螺线??e?在点?(?,?)?(e2,?2)处切线的直角坐标方程为_____________.
?(4)设A??12?2??4t3?,B为三阶非零矩阵,且
AB?O,则t?11?=_____________. ?3???(5)袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,
则第二个人取得黄球的概率是_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
xy(1)二元函数 (x,yf(x,y)? x2?y2)?(0,0),在点(0,0)处
0 (x,y)?(0,0)(A)连续,偏导数存在
(B)连续,偏导数不存在 (C)不连续,偏导数存在
(D)连续,偏导数不存在
(2)设在区间[a,b]上f(x)?0,f?(x)?0,f??(x)?0.令
Sb11??af(x)dx,S2?f(b)(b?a),S3?2[f(a)?f(b)](b?a), 则
(A)S1?S2?S3 (B)S2?S1?S3 (C)S3?S1?S2
(D)S2?S3?S1
(3)设F(x)??x?2?txesinsintdt,则F(x)
(A)为正常数 (B)为负常数 (C)恒为零
(D)不为常数
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?a1??b1??c1?(4)设α???????1?a2,α2?b2,α3?c???2,则三条直线 ?a3??????b3?????c3??a1x?b1y?c1?0,a2x?b2y?c2?0, a3x?b3y?c3?0(其中a2i?b2i?0,i?1,2,3)交于一点的充要条件是 (A)α1,α2,α3线性相关
(B)α1,α2,α3线性无关
(C)秩r(α1,α2,α3)?秩r(α1,α2)
(D)α1,α2,α3线性相关,α1,α2线性无关
(5)设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2,则随机变量3X?2Y的方差是
(A)8 (B)16 (C)28 (D)44
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
(1)计算I????(x2?y2)dv,其中?为平面曲线 y2?2z绕z轴旋转一周所成的曲面与平面z?8所围?x?0成的区域.
(2)计算曲线积分
??(z?y)dx?(x?z)dy?(x?y)dz,其中c是曲线 x2?y2?1cx?y?z?2从z轴正向往z轴负
向看c的方向是顺时针的.
(3)在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的,设该人群的总人数为N,在t?0时刻已
掌握新技术的人数为x0,在任意时刻t已掌握新技术的人数为x(t)(将x(t)视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数k?0,求x(t).
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四、(本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题7分,满分13分)
(1)设直线l: x?y?b?0在平面而平面求x?ay?z?3?0?上,?与曲面z?x2?y2相切于点(1,?2,5),a,b之值.
2
(2)设函数f(u)具有二阶连续导数,而z?f(exsiny)满足方程?z?2zx?x2??y2?e2z,求
f(u).
五、(本题满分6分) 设
f(x)连续,?(x)??10f(xt)dt,且limf(x)?A(A为常数),求??(x)并讨论??(x)在x?0处的连续性.
x?0x
六、(本题满分8分) 设a1?0,an?1?12(an?1a)(n?1,2,?),证明
n
(1)liman存在.
x?? (2)级数??(ann?1a?1)收敛. n?1
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七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分)
(1)设B是秩为2的5?4矩阵,αT1?[1,1,2,3]T,α2?[?1,1,4,?1],α3?[5,?1,?8,9]T是齐次线性方程组
Bx?0的解向量,求Bx?0的解空间的一个标准正交基.
??2?12?
(2)已知ξ??1??1?是矩阵A??a3?的一个特征向量. ??1???5??????1b?2?? 1)试确定a,b参数及特征向量ξ所对应的特征值.
2)问A能否相似于对角阵?说明理由.
八、（本题满分5分）
设A是n阶可逆方阵,将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B.
(1)证明B可逆. (2)求AB?1. 九、（本题满分7分）
从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设再各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是2.设X为途中遇到红灯的次数,求随机变量X的分布律、分布函数和数学期望.
5 十、（本题满分5分） 设总体X的概率密度为
f(x)? (??1)x? 0?x?1 0其它其中???1是未知参数,X1,X2,?,Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本,分别用矩估计法和极
大似然估计法求?的估计量.
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1998年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)lim1?x?1?x?2=_____________.
x?0x2
2(2)设z?1xf(xy)?y?(x?y),f,?具有二阶连续导数,则?z?x?y=_____________.
(3)设2l为椭圆xy24?3?1,其周长记为a,则??(2xy?3x2?4y2)ds=_____________.
L(4)设A为n阶矩阵,A?0,A*为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵.若A有特征值?,则(A*)2?E必有特征值_____________.
(5)设平面区域D由曲线y?1及直线xy?0,x?1,x?e2所围成,二维随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀
分布,则(X,Y)关于X的边缘概率密度在x?2处的值为_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设
xf(x)连续,则
dtf(x2?t2dx?0)dt= (A)xf(x2)
(B)?xf(x2) (C)2xf(x2)
(D)?2xf(x2)
(2)函数f(x)?(x2?x?2)x3?x不可导点的个数是 (A)3 (B)2 (C)1
(D)0
(3)已知函数
y?y(x)在任意点x处的增量?y?y?x1?x2??,且当?x?0时,?是?x的高阶无穷
小,y(0)??,则y(1)等于
(A)2? (B)?
??(C)e4
(D)?e4
(4)设矩阵
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??a1b1c1??a2b2c?2 ?a??3b3c3??是满秩的,则直线x?a3?y?b3?z?c3与直线x?a1?y?b1?z?c1a?ab
12b1?b2c1?c2a2?a3b2?3c2?c3(A)相交于一点
(B)重合 (C)平行但不重合 (D)异面
(5)设A,B是两个随机事件,且0?P(A)?1,P(B)?0,P(B|A)?P(B|A),则必有 (A)P(A|B)?P(A|B)
(B)P(A|B)?P(A|B) (C)P(AB)?P(A)P(B)
(D)P(AB)?P(A)P(B)
三、(本题满分5分)
求直线l:x?1?y?z?1在平面11?1?:x?y?2z?1?0上的投影直线l0的方程,并求l0绕y轴旋转一周所
成曲面的方程.
四、(本题满分6分)
确定常数?,使在右半平面x?0上的向量A(x,y)?2xy(x4?y2)?i?x2(x4?y2?)j为某二元函数
u(x,y)的梯度,并求u(x,y).
五、(本题满分6分)
从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m,体积为B,海水密度为?,仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为k(k?0).试建立y与v所满足的微分方程,并求出函数关系式y?y(v).
六、(本题满分7分)
计算??axdydz?(z?a)2dxdy2,其中?为下半平面z??a2?x2?y2的上侧,a为大于零的常数. ?(x?y2?z2)12
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七、(本题满分6分) ?2?
求lim?sin?nsin?x????n???sin??.?n?1?n?11?2n?n??
八、（本题满分5分）
?设正向数列{a?n1nn}单调减少,且?(?1)an发散,试问级数?()是否收敛n?1n?1an?1?并说明理由.
九、（本题满分6分）
设y?f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数.
(1)试证存在x0?(0,1),使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积,等于在区间[x0,1]上以y?f(x)为曲
边的曲边梯形面积.
(2)又设
f(x)在区间(0,1)内可导,且
f?(x)??2f(x)证明(1)中的x,x0是唯一的.
十、（本题满分6分）
?已知二次曲面方程x2?ay2?z2?2bxy?2xz?2yz?4可以经过正交变换?x?????y??P???化为椭圆柱面????z????????方程?2?4?2?4,求a,b的值和正交矩阵P.
十一、（本题满分4分）
设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组Akx?0有解向量α,且Ak?1α?0. 证明:向量组α,Aα,?,Ak?1α是线性无关的.
十二、（本题满分5分）
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已知方程组
a11x1?a12x2???a1,2nx2n?0(Ⅰ)
a21x1?a22x2???a2,2nx2n?0 ?
an1x1?an2x2???an,2nx2n?0的一个基础解析为(bT11,b12,?,b1,2n),(b21,b22,?,b2,2n)T,?,(bn1,bn2,?,bn,2n)T.试写出线性方程组
b11y1?b12y2???b1,2ny2n?0(Ⅱ)
b21y1?b22y2???b2,2ny2n?0 ?
bn1y1?bn2y2???bn,2ny2n?0的通解,并说明理由.
十三、（本题满分6分）
设两个随机变量X,Y相互独立,且都服从均值为0、方差为1的正态分布,求随机变量X?Y的方差.
2
十四、（本题满分4分）
从正态总体N(3.4,62)中抽取容量为n的样本,如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n至少应取多大? 附:标准正态分布表
2?(x)??z1?t??2?e2dt z 1.28 1.645 1.96 2.33 ?(x) 0.900 0.950 0.975 0.990
十五、（本题满分4分）
设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生地成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分.问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70 分?并给出检验过程. 附:t分布表
P{t(n)?tp(n)}?p
0.95 0.975 35 1.6896 2.0301 36 1.6883 2.0281
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1999年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)lim(1?1tanx)=_____________. x?0x2x(2)dxdx?sin(x?t)2dt=_____________. 0(3)y???4y?e2x的通解为y=_____________.
(4)设n阶矩阵A的元素全为1,则A的n个特征值是 _____________.
(5)设两两相互独立的三事件A,B和C满足条件:ABC??,P(A)?P(B)?P(C)?12,
且已知P(A?B?C)?916,则P(A)=_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设f(x)是连续函数,F(x)是f(x)的原函数,则 (A)当f(x)是奇函数时,F(x)必是偶函数 (B)当f(x)是偶函数时,F(x)必是奇函数 (C)当f(x)是周期函数时,F(x)必是周期函数 (D)当f(x)是单调增函数时,F(x)必是单调增函数
?1?cosx(2)设f(x)???x x?0,其中g(x)是有界函数,则f(x)在x?0处
??x2g(x) x?0(A)极限不存在 (B)极限存在,但不连续
(C)连续,但不可导 (D)可导
?x 0?x?1(3)设f(x)???,S(x)?a?0???2?2x 12?x?12?ancosn?x,???x???, n?1其中an?2?10f(x)cosn?xdx
(n?0,1,2,?),则S(?5等于
2)(A)12
(B)?12
(C)34
(D)?34
(4)设A是m?n矩阵,B是n?m矩阵,则 (A)当m?n时,必有行列式|AB|?0
(B)当m?n时,必有行列式|AB|?0
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(C)当n?m时,必有行列式|AB|?0
(D)当n?m时,必有行列式|AB|?0
(5)设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1),则 (A)P{X?Y?0}?12
(B)P{X?Y?1}?12
(C)P{X?Y?0}?12
(D)P{X?Y?1}?12
三、(本题满分6分) 设y?y(x),z?z(x)是由方程z?xf(x?y)和F(x,y,z)?0所确定的函数,其中f和F分别具有一阶连
续导数和一阶连续偏导数,求dzdx.
四、(本题满分5分)
求I??(exsiny?b(x?y))dx?(excosy?ax)dy,其中a,b为正的常数,L为从点
LA(2a,0)沿曲线
y?2ax?x2到点O(0,0)的弧.
五、(本题满分6分)
设函数y(x)(x?0)二阶可导且y?(x)?0,y(0)?1.过曲线y?y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线
及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区间[0,x]上以y?y(x)为曲线的曲边梯形
面积记为S2,并设2S1?S2恒为1,求曲线y?y(x)的方程.
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