数学一1987-2010.doc

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1987年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)当x=_____________时,函数y?x?2x取得极小值.

(2)由曲线y?lnx与两直线y?e?1?x及y?0所围成的平面图形的面积是_____________.

x?1 (3)与两直线 y??1?t及x?1?y?2?z?1都平行且过原点的平面方程为_____________.

111

z?2?t

(4)设L为取正向的圆周x2?y2?9,则曲线积分

??2L(2xy?2y)dx?(x?4x)dy= _____________. (5)已知三维向量空间的基底为α1?(1,1,0),α2?(1,0,1),α3?(0,1,1),则向量β?(2,0,0)在此基底下的坐标是_____________.

二、(本题满分8分)

a与b,使等式lim1xt2求正的常数?sinx?dt?1成立.

x?0bx0a?t2

三、(本题满分7分)

(1)设f、g为连续可微函数,u?f(x,xy),v?g(x?xy),求

?u?x,?v?x. ?301(2)设矩阵A和B满足关系式AB=A?2B,其中A????110???,求矩阵B. ?014??

四、(本题满分8分)

求微分方程y????6y???(9?a2)y??1的通解,其中常数a?0.

五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设limf(x)?f(a)?a)??1,则在x?a处

x?a(x2(A)f(x)的导数存在,且f?(a)?0 (B)f(x)取得极大值

(C)

f(x)取得极小值

(D)

f(x)的导数不存在

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s(2)设

f(x)为已知连续函数,I?t?tf(tx)dx,其中0t?0,s?0,则I的值

(A)依赖于s和t (B)依赖于s、t和x (C)依赖于t、x,不依赖于s

(D)依赖于s,不依赖于t

(3)设常数??k?0,则级数(?1)nk?n

n?1n2(A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)散敛性与k的取值有关

(4)设A为n阶方阵，且A的行列式|A|?a?0,而A*是A的伴随矩阵，则|A*|等于 (A)a

(B)1a

(C)an?1

(D)an

六、（本题满分10分）

求幂级数??1xn?1的收敛域，并求其和函数.

n?1n?2n

七、（本题满分10分）

求曲面积分I???x(8y?1)dydz?2(1?y2)dzdx?4yzdxdy,

?其中是由曲线f(x)????z?y?1 1?y?3???x?0绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y轴正向的夹角恒

大于?2.

2

八、（本题满分10分）

设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且

f?(x)?1,证明在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)?x.

九、（本题满分8分）

问a,b为何值时,现线性方程组

x1?x2?x3?x4?0x2?2x3?2x4?1?x

2?(a?3)x3?2x4?b3x1?2x2?x3?ax4??1有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.

2

十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)设在一次实验中,事件A发生的概率为p,现进行n次独立试验,则

A至少发生一次的概率为

____________;而事件A至多发生一次的概率为____________.

(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________.

(3)已知连续随机变量X的概率密度函数为f(x)?1e?x2?2x?1则X的数学期望为____________,X的方

?,差为____________.

十一、（本题满分6分）

设随机变量X,Y相互独立,其概率密度函数分别为

f? 1 0?x?1,fy)? e?yX(x)Y( y?00其它y?0,

0求Z?2X?Y的概率密度函数.

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1988年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

??(x?3)n(1)求幂级数n?1n3n的收敛域

(2)设f(x)?ex2,f[?(x)]?1?x且?(x)?0,求?(x)及其定义域.

(3)设?为曲面x2?y2?z2?1的外侧,计算曲面积分I????x3dydz?y3dzdx?z3dxdy.

?

二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上) (1)若f(t)?limx??t(1?1x)2tx,则

f?(t)= _____________.

3(2)设

f(x)连续且

?x?10f(t)dt?x,则f(7)=_____________.

(3)设周期为2的周期函数,它在区间(?1,1]上定义为

f(x)?

2 ?1?x?00?x?1,则的傅里叶(Fourier)级数在

x2x?1处收敛于_____________.

(4)设4阶矩阵A?[α,γ2,γ3,γ4],B?[β,γ2,γ3,γ4],其中α,β,γ2,γ3,γ4均为4维列向量,且已知行列式

A?4,B?1,则行列式A?B= _____________.

三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设

f(x)可导且

f?(x10)?2,则

?x?0时,f(x)在x0处的微分dy是

(A)与?x等价的无穷小 (B)与?x同阶的无穷小 (C)比?x低阶的无穷小 (D)比?x高阶的无穷小

3

(2)设y?f(x)是方程y???2y??4y?0的一个解且

f(x0)?0,f?(x0)?0,则函数

f(x)在点x0处

(A)取得极大值 (B)取得极小值 (C)某邻域内单调增加

(D)某邻域内单调减少

(3)设空间区域?1:x2?y2?z2?R2,z?0,?22:x?y2?z2?R2,x?0,y?0,z?0,则 (A)???xdv?4???dv

(B)????ydv?4

1?2????ydv

1?2(C)

???zdv?4???zdv

(D)

????xyzdv?4????xyzdv

1?21?2(4)设幂级数??an(x?1)n在x??1处收敛,则此级数在x?2处 n?1(A)条件收敛

(B)绝对收敛

(C)发散

(D)收敛性不能确定

(5)n维向量组α1,α2,?,αs(3?s?n)线性无关的充要条件是 (A)存在一组不全为零的数k1,k2,?,ks,使k1α1?k2α2???ksαs?0 (B)α1,α2,?,αs中任意两个向量均线性无关

(C)α1,α2,?,αs中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D)α1,α2,?,αs中存在一个向量都不能用其余向量线性表示

四、(本题满分6分)

设u?yf(x)?xg(y?2u?2uyx),其中函数f、g具有二阶连续导数,求x?x2?y?x?y.

五、(本题满分8分) 设函数y?y(x)满足微分方程

y???3y??2y?2ex,其图形在点(0,1)处的切线与曲线y?x2?x?1在

该点处的切线重合,求函数y?y(x).

4

六、（本题满分9分）

设位于点(0,1)的质点A对质点M的引力大小为k2(k?0为常数,r为A质点与M之间的距离),质点M沿

r直线y?2x?x2自B(2,0)运动到O(0,0),求在此运动过程中质点A对质点M的引力所作的功.

七、（本题满分6分）

?

已知AP?BP,其中B??100??000??,P??100?2?10?,求A,A5.? 00?1???211???????

八、（本题满分8分）

?200??200?已知矩阵A???001?与B??0??x???y0?相似. ?01???00?1??(1)求x与y. (2)求一个满足P?1AP?B的可逆阵P.

4

九、（本题满分9分）

设函数f(x)在区间[a,b]上连续,且在(a,b)内有

f?(x)?0,证明:在(a,b)内存在唯一的?,使曲线

y?f(x)与两直线y?f(?),x?a所围平面图形面积S1是曲线y?f(x)与两直线y?f(?),x?b所围平面

图形面积S2的3倍.

十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)设在三次独立试验中,事件A出现的概率相等,若已知A至少出现一次的概率等于19,则事件A在一次

27试验中出现的概率是____________.

(2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于65”的概率为____________.

(3)设随机变量X服从均值为10,均方差为0.02的正态分布,已知

2?(x)??x1?u??2?e2du,?(2.5)?0.9938, 则X落在区间(9.95,10.05)内的概率为____________.

十一、（本题满分6分）

设随机变量X的概率密度函数为fX(x)?1?(1?x2),求随机变量Y?1?3X的概率密度函数fY(y).

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1989年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)已知f?(3)?2,则limf(3?h)?f(3)2h= _____________.

h?0(2)设

f(x)是连续函数,且f(x)?x?2?10f(t)dt,则

f(x)=_____________.

(3)设平面曲线L为下半圆周y??1?x2,则曲线积分

?(x22L?y)ds=_____________.

(4)向量场divu在点P(1,1,0)处的散度divu=_____________.

?300??100?(5)设矩阵A???140???,I???010??,则矩阵(A?2I)?1=_____________. ?003????001??

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)当x?0时,曲线y?xsin1x

(A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线

(C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线

(D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线

(2)已知曲面z?4?x2?y2上点P处的切平面平行于平面2x?2y?z?1?0,则点的坐标是 (A)(1,?1,2)

(B)(?1,1,2) (C)(1,1,2)

(D)(?1,?1,2)

(3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是 (A)c1y1?c2y2?y3

(B)c1y1?c2y2?(c1?c2)y3

(C)c1y1?c2y2?(1?c1?c2)y3

(D)c1y1?c2y2?(1?c1?c2)y3

(4)设函数f(x)?x2,0?x?1,而?S(x)??bnsinn?x,???x???,其中

n?1bn?2?10f(x)sinn?xdx,n?1,2,3,?,则S(?12)等于

(A)?12

(B)?14

(C)14

(D)12

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(5)设A是n阶矩阵,且A的行列式A?0,则A中 (A)必有一列元素全为0 (B)必有两列元素对应成比例 (C)必有一列向量是其余列向量的线性组合

(D)任一列向量是其余列向量的线性组合

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)设z?f(2x?y)?g(x,xy),其中函数f(t)二阶可导,g(u,v)具有连续二阶偏导数,求?2z?x?y.

(2)设曲线积分

?xy2cdx?y?(x)dy与路径无关,其中?(x)具有连续的导数,且?(0)?0,计算

?(1,1)2的值.

(0,0)xydx?y?(x)dy(3)计算三重积分

???(x?z)dv,其中?是由曲面z?x2?y2与z?1?x2?y2所围成的区域.

?

四、(本题满分6分)

将函数f(x)?arctan1?x展为1?xx的幂级数.

五、(本题满分7分) 设f(x)?sinx??x0(x?t)f(t)dt,其中f为连续函数,求f(x).

六、（本题满分7分）

证明方程lnx?xe???01?cos2xdx在区间(0,??)内有且仅有两个不同实根.

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