16
六、(本题满分8分) 设
f(x)在点x?0的某一邻域内具有二阶连续导数,且limf(x)?0,证明级数?f(1)绝对收敛. x?0x?n?1n
七、（本题满分6分）
已知点A与B的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB绕x轴旋转一周所成的旋转曲面为S.求由S及两平面z?0,z?1所围成的立体体积.
八、（本题满分8分） 设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为 x1?x2?0x2?x4?0,
又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为k1(0,1,1,0)?k2(?1,2,2,1).
(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析.
(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.
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九、（本题满分6分）
设A为n阶非零方阵,A*是A的伴随矩阵,A?是A的转置矩阵,当A*?A?时,证明A?0.
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)已知A、B两个事件满足条件P(AB)?P(AB),且P(A)?p,则P(B)=____________.
(2)设相互独立的两个随机变量X,Y具有同一分布率,且X的分布率为
X 0 1 P 1 122 则随机变量Z?max{X,Y}的分布率为____________.
十一、（本题满分6分）
设随机变量X和Y分别服从正态分布N(1,32)和N(0,42),且X与Y的相关系数?xy??1,设Z?X3?Y22, (1)求Z的数学期望EZ和DZ方差.
(2)求X与Z的相关系数?xz. (3)问X与Y是否相互独立?为什么?
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1995年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)2lim(1?3x)sinx=_____________.
x?0(2)d0dx?2xcost2dt= _____________.
x(3)设(a?b)?c?2,则[(a?b)?(b?c)]?(c?a)=_____________. (4)幂级数??nn?12n?(?3)nx2n?1的收敛半径R=_____________. ?1?00??3??(5)设三阶方阵A,B满足关系式A?1BA?6A?BA,且A??1?00??4?,则B=_____________. ?1???007???
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设有直线L: x?3y?2z?1?02x?y?10z?3?0,及平面?:4x?2y?z?2?0,则直线L
(A)平行于? (B)在?上 (C)垂直于?
(D)与?斜交
(2)设在[0,1]上f??(x)?0,则f?(0),f?(1),f(1)?f(0)或f(0)?f(1)的大小顺序是 (A)f?(1)?f?(0)?f(1)?f(0) (B)f?(1)?f(1)?f(0)?f?(0) (C)f(1)?f(0)?f?(1)?f?(0) (D)f?(1)?f(0)?f(1)?f?(0)
(3)设
f(x)可导,F(x)?f(x)(1?sinx),则
f(0)?0是F(x)在x?0处可导的
(A)充分必要条件 (B)充分条件但非必要条件
(C)必要条件但非充分条件
(D)既非充分条件又非必要条件
(4)设un?(?1)nln(1?1n),则级数 (A)???un与
(B)n?1?u2都收敛
n?1n???un与?u2都发散
n?1n?1n(C)??un收敛,而??
?u2发散
(D)收敛,而n?1n?1n?un??u2发散
n?1n?1n17
?a11a12a13??a12a13??(5)设A???a21a22a??a1123aaa??P?010???100?2223,1?100?,P???a31a32a?,B??2133????a31a32???2010?,则必有
a??33???001????101??(A)AP1P2=B (B)AP2P1=B (C)P1P2A=B
(D)P2P1A=B
三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)设u?f(x,y,z),?(x2,ey,z)?0,y?sinx,其中f,?都具有一阶连续偏导数,且???z?0.求dudx.
(2)设函数
f(x)在区间[0,1]上连续,并设
?1(x)dx?A,求?1dx?10f0xf(x)f(y)dy.
四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分) (1)计算曲面积分??zdS,其中?为锥面z?x22??y2在柱体x?y2?2x内的部分.
(2)将函数
f(x)?x?1(0?x?2)展开成周期为
4的余弦函数.
五、(本题满分7分)
设曲线L位于平面xOy的第一象限内,L上任一点M处的切线与
y轴总相交,交点记为
A.已知
MA?OA,且L过点(3,3),求L的方程.
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六、(本题满分8分)
设函数Q(x,y)在平面xOy上具有一阶连续偏导数,曲线积分
?L2xydx?Q(x,y)dy与路径无关,并且对
任意t恒有?(t,1)(0,0)2xydx?Q(x,y)dy??(1,t)(0,0)2xydx?Q(x,y)dy,求Q(x,y).
七、（本题满分8分）
假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,并且g??(x)?0,f(a)?f(b)?g(a)?g(b)?0,试证:
(1)在开区间(a,b)内g(x)?0.
(2)在开区间(a,b)内至少存在一点?,使f(?)?f??(?)g(?)g??(?).
八、（本题满分7分）
?0?设三阶实对称矩阵A的特征值为??1,?1,对应于???1?2??3?1的特征向量为ξ1??1??,求A. ?1??
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九、（本题满分6分）
设A为n阶矩阵,满足AA??I(I是n阶单位矩阵,A?是A的转置矩阵),A?0,求A?I.
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)设X表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4, 则X2的数学期望E(X2)=____________.
(2)设X和Y为两个随机变量,且
P{X?0,Y?0}?37,P{X?0}?P{Y?0}?47, 则P{max(X,Y)?0}?____________.
十一、（本题满分6分） 设随机变量X的概率密度为
f(x)? e?xX x?0?0,
0x求随机变量Y?eX的概率密度fY(y).
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1996年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)设lim(x?2a)x?8,则a=_____________.
x??x?a(2)设一平面经过原点及点(6,?3,2),且与平面4x?y?2z?8垂直,则此平面方程为_____________. (3)微分方程y???2y??2y?ex的通解为_____________. (4)函数u?ln(x?y2?z2)在点
A(1,0,1)处沿点
A指向点
B(3,?2,2)方向的方向导数为
_____________.
?102(5)设A是4?3矩阵,且A的秩r(A)?2,而B????020?,则r(AB)=_____________. ?103?????
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)已知(x?ay)dx?ydy为某函数的全微分,a则等于
(x?y)2(A)-1
(B)0 (C)1 (D)2
(2)设f?(0)?0,limf??(x)f(x)具有二阶连续导数,且x?0x?1,则
(A)f(0)是f(x)的极大值
(B)f(0)是f(x)的极小值
(C)(0,f(0))是曲线y?f(x)的拐点
(D)f(0)不是f(x)的极值,(0,f(0))也不是曲线y?f(x)的拐点
(3)设an?1,2,?),且???n?0(an收敛,常数??(0,?),则级数n?12?(?1)n(ntan?)a2n?1nn
(A)绝对收敛
(B)条件收敛
(C)发散
(D)散敛性与?有关
(4)设有
f(x)连续的导数,f(0)?0,f?(0)?0,F(x)??xk0(x2?t2)f(t)dt,且当x?0时,F?(x)与x是同
阶无穷小,则k等于
(A)1
(B)2 (C)3
(D)4
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a100b1(5)四阶行列式
0a2b200a的值等于
3b30b400a4(A)a1a2a3a4?b1b2b3b4
(B)a1a2a3a4?b1b2b3b4 (C)(a1a2?b1b2)(a3a4?b3b4)
(D)(a2a3?b2b3)(a1a4?b1b4)
三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)
(1)求心形线r?a(1?cos?)的全长,其中a?0是常数. (2)设x1?10,xn?1?6?xn(n?1,2,?),试证数列{xn}极限存在,并求此极限.
四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分) (1)计算曲面积分
??(2x?z)dydz?zdxdy,其中S为有向曲面z?x2?y2(0?x?1),其法向量与z轴正向S. 22(2)设变换 u?x?2y可把方程?z??2z?2v?x?ay6?x2?x?y?z??y2?0简化为z?u?v?0,求常数a.
五、(本题满分7分) 求级数??1的和.
n?1(n2?1)2n
的夹角为锐角
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六、(本题满分7分)
设对任意xx?0,曲线y?f(x)上点(x,f(x))处的切线在y轴上的截距等于1x?0f(t)dt,求f(x)的一般
表达式.
七、（本题满分8分）
设
f(x)在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件f(x)?a,f??(x)?b,其中a,b都是非负常数,c是(0,1)内
任意一点.证明f?(c)?2a?b2.
八、（本题满分6分）
设A?I?ξξT,其中I是n阶单位矩阵,ξ是n维非零列向量,ξT是ξ的转置.证明 (1)A2?A的充分条件是ξTξ?1.
(2)当ξTξ?1时,A是不可逆矩阵.
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九、（本题满分8分）
已知二次型f(x2cx21,x2,x3)?5x21?5x2?3?2x1x2?6x1x3?6x2x3的秩为2,
(1)求参数c及此二次型对应矩阵的特征值. (2)指出方程f(x1,x2,x3)?1表示何种二次曲面.
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)
(1)设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属A生产的概率是____________.
(2)设?,?是两个相互独立且均服从正态分布N(0,(1)2)的随机变量,则随机变量???的数学期望
2E(???)=____________.
十一、（本题满分6分）
设?,?是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知?的分布率为P(??i)?13,i?1,2,3.
又设X?max(?,?),Y?min(?,?).
(1)写出二维随机变量的分布率: X Y 1 2 3 1 2 3 (2)求随机变量X的数学期望E(X).
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