2003年考研数学（一）试题及答案解析(4)

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由 P?1?01?1??1???1??0??，得P?1????1?，P?1????1?，P?1???1?.

??100123?????????????001???0???1???1??因此，B+2E的三个特征值分别为9，9，3.

对应于特征值9的全部特征向量为

?1???1??????1?1 k1P?1?k2P?2?k1?1?k2?1，其中k1,k2是不全为零的任意常数；

???????0???1??对应于特征值3的全部特征向量为

?0????1 k3P?3?k31，其中k3是不为零的任意常数.

????1??【评注】 设B?PAP，若?是A的特征值，对应特征向量为?，则B与A有相同的特征值，但对应特征向量不同，B对应特征值?的特征向量为P?1?.

本题计算量大，但方法思路都是常规和熟悉的，主要是考查考生的计算能力。不过利用

相似矩阵有相同的特征值以及A与A*的特征值之间的关系讨论，可适当降低计算量，这方面可参见类似例题《考研数学大串讲》P.214【例5】，《数学最后冲刺》P.136【例3】.

十 、（本题满分8分）

已知平面上三条不同直线的方程分别为

l1: ax?2by?3c?0， l2: bx?2cy?3a?0， l3: cx?2ay?3b?0.

试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a?b?c?0.

【分析】 三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2.

【详解】 方法一：必要性

设三条直线l1,l2,l3交于一点，则线性方程组

?1?ax?2by??3c,??bx?2cy??3a, (*) ?cx?2ay??3b,??a2b??a2b?3c?????有唯一解，故系数矩阵A?b2c与增广矩阵A?b2c?3a的秩均为2，于是???????c2a???c2a?3b??

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A?0.

a由于 A?b2b2c2a?3c?3a?6(a?b?c)[a2?b2?c2?ab?ac?bc] ?3bc =3(a?b?c)[(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2], 但根据题设 (a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?0，故 a?b?c?0.

充分性：由a?b?c?0，则从必要性的证明可知，A?0，故秩(A)?3. 由于

a2b?2(ac?b2)??2[a(a?b)?b2]

b2c1232b)?b]?0， 24 =?2[(a?故秩(A)=2. 于是，

秩(A)=秩(A)=2.

因此方程组(*)有唯一解，即三直线l1,l2,l3交于一点.

方法二：必要性

?x0???设三直线交于一点(x0,y0)，则y0为Ax=0的非零解，其中 ????1???a2b3c??? A?b2c3a. ????c2a3b??于是 A?0.

a2b3c 而 A?b2c3a??6(a?b?c)[a2?b2?c2?ab?ac?bc] 2a3b222c =?3(a?b?c)[(a?b)?(b?c)?(c?a)], 但根据题设 (a?b)?(b?c)?(c?a)?0，故 a?b?c?0.

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充分性：考虑线性方程组

?ax?2by??3c,? ?bx?2cy??3a, (*)

?cx?2ay??3b,?将方程组(*)的三个方程相加，并由a+b+c=0可知，方程组(*)等价于方程组

?ax?2by??3c, ? (* *)

bx?2cy??3a.?因为

a2b?2(ac?b2)??2[a(a?b)?b2]

b2c =-[a2?b2?(a?b)2]?0,

故方程组(* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线l1,l2,l3交于一点.

【评注】本题将三条直线的位置关系转化为方程组的解的判定，而解的判定问题又可转化为矩阵的秩计算，进而转化为行列式的计算，综合考查了多个知识点.

完全类似例题见《数学最后冲刺》P.196【例5】.

十一 、（本题满分10分）

已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：

(1) 乙箱中次品件数的数学期望；

(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.

【分析】 乙箱中可能的次品件数为0，1，2，3，分别求出其概率，再按定义求数学期望即可；而求从乙箱中任取一件产品是次品的概率，涉及到两次试验，是典型的用全概率公式的情形，第一次试验的各种可能结果（取到的次品数）就是要找的完备事件组.

【详解】 (1) X的可能取值为0，1，2，3，X的概率分布为

3?kC3kC3 P{X?k}?， k=0,1,2,3. 3C6即 X 0 1 2 3 P 因此

EX?0?1991 2020202019913?1??2??3??. 202020202{X?1}，{X?2}，(2) 设A表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”，由于{X?0}，{X?3}构成完备事件组，因此根据全概率公式，有

P(A)??P{X?k}P{AX?k}

k?03 18

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k13 =?P{X?k}???kP{X?k}

66k?0k?0 =

31131EX???. 6624【评注】本题对数学期望的计算也可用分解法：

设

Xi??则Xi的概率分布为

Xi 0 1

P i件产品是合格品,?0,从甲箱中取出的第

i件产品是次品,?1,从甲箱中取出的第11 i?1,2,3. 22 因为X?X1?X2?X3，所以 EX?EX1?EX2?EX3?3. 2完全类似例题见《考研数学大串讲》P.256【例20】，利用分解法求数字特征的思想见《数学题型集粹与练习题集》P.280【例3.18-21】.

十二 、（本题满分8分） 设总体X的概率密度为

?2e?2(x??),x??, f(x)??

x??,?0,其中??0是未知参数. 从总体X中抽取简单随机样本X1,X2,?,Xn，记

??min(X,X,?,X). ?12n(1) 求总体X的分布函数F(x); (2) 求统计量??的分布函数F??(x)；

(3) 如果用??作为?的估计量，讨论它是否具有无偏性.

【分析】 求分布函数F(x)是基本题型；求统计量??的分布函数F??(x)，可作为多维相互独立且同分布的随机变量函数求分布函数，直接用定义即可；是否具有无偏性，只需检验

???是否成立. E?【详解】 (1)

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F(x)??x???1?e?2(x??),x??, f(t)dt??x??.0,???x}?P{min(X,X,?,X)?x} (2) F??(x)?P{?12n =1?P{min(X1,X2,?,Xn)?x} =1?P{X1?x,X2?x,?,Xn?x} =1?[1?F(x)]n

?1?e?2n(x??),x??, =?

x??.0,?(3) ??概率密度为 f??(x)?dF??(x)dx?2ne?2n(x??),x??, ??x??.0,?????因为 E??????xf??(x)dx??2nxe?2n(x??)dx

? =??1??， 2n所以??作为?的估计量不具有无偏性.

【评注】本题表面上是一数理统计问题，实际上考查了求分布函数、随机变量的函数求分布和概率密度以及数学期望的计算等多个知识点. 将数理统计的概念与随机变量求分布与数字特征结合起来是一种典型的命题形式.

完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》试卷（七）第十二题（从题型到求解方法完全一致）,《数学题型集粹与练习题集》P.292【例5.8】,在文登学校辅导班上也介绍过几乎完全一致的例题（参加过辅导班的同学可查看笔记）.

注： 1.《数学复习指南》 （2003版，理工类）世界图书出版公司

主编: 陈文灯、黄先开 2.《数学题型集粹与练习题集》（2003版，理工类）世界图书出版公司

主编: 陈文灯、黄先开 3.《文登数学全真模拟试卷》（2003版，理工类）世界图书出版公司

主编: 陈文灯、黄先开 4.《数学最后冲刺》（2003版，理工类）世界图书出版公司

主编: 陈文灯、黄先开 5.《考研数学大串讲》（2002版，理工类）世界图书出版公司

主编: 黄先开、曹显兵、施明存

(文登学校供稿)

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