欢迎使用电驴VeryCD
【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I：?1,?2,?,?r可由向量组II：?1,?2,?,?s线性表示，则当r?s时，向量组I必线性相关. 或其逆否命题：若向量组I：?1,?2,?,?r可由向量组II：?1,?2,?,?s线性表示，且向量组I线性无关，则必有r?s. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案.
【详解】 用排除法：如?1??则?1?0??1?0??2，但?1,?2?0??,?1???0??,?2???1??，??????线性无关，排除(A)；?1???0??,?2???0??,?1???0??，则?1,?2可由?1线性表示，但?1线??????性无关，排除(B)；?1???0??,?1???0??,?2???1??，?1可由?1,?2线性表示，但?1线性无??????关，排除(C). 故正确选项为(D).
【评注】 本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案，若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项。此定理见《数学复习指南》P.409 定理11.
（5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B均为m?n矩阵，现有4个命题： ① 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)?秩(B)； ② 若秩(A)?秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； ③ 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)； ④ 若秩(A)=秩(B)， 则Ax=0与Bx=0同解. 以上命题中正确的是
(A) ① ②. (B) ① ③.
(C) ② ④. (D) ③ ④. [ B ] 【分析】 本题也可找反例用排除法进行分析，但① ②两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住③ 与 ④，迅速排除不正确的选项.
【详解】 若Ax=0与Bx=0同解，则n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命题③成立，可排除(A),(C)；但反过来，若秩(A)=秩(B)， 则不能推出Ax=0与Bx=0同解，如A???0??1??0??0??1??1??1??1??0??10??，00???00?，则秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0与Bx=0不同解，可见命题④不成立，排除(D),B????01?故正确选项为(B).
【评注】 文登学校数学辅导班上曾介绍过这样一个例题： 【例】 齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解的充要条件
(A) r(A)=r(B). (B) A,B为相似矩阵.
(C) A, B的行向量组等价. (D) A,B的列向量组等价. [ C ] 有此例题为基础，相信考生能迅速找到答案.
6
欢迎使用电驴VeryCD
（6）设随机变量X~t(n)(n?1),Y? (A) Y~1，则 X2?2(n). (B) Y~?2(n?1).
(C) Y~F(n,1). (D) Y~F(1,n). [ C ] 【分析】 先由t分布的定义知X?UVn，其中U~N(0,1),V~?2(n)，再将其代入
Y?1，然后利用F分布的定义即可. 2XU【详解】 由题设知，X?，其中U~N(0,1),V~?2(n)，于是
VnVV11nY?2=2?2n，这里U2~?2(1)，根据F分布的定义知Y?2~F(n,1).故
UUXX1应选(C).
【评注】 本题综合考查了t分布、?2分布和F分布的概念，要求熟练掌握此三类常用统计量分布的定义, 见《文登数学全真模拟试卷》数学一P.57第二大题第（6）小题（事实上完全相当于原题）和《数学复习指南》P.592的定义和P.595的【解题提示】.
三 、（本题满分10分）
过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D. (1) 求D的面积A;
(2) 求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V.
【分析】 先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积A; 旋转体体积可用一大立体（圆锥）体积减去一小立体体积进行计算，为了帮助理解，可画一草图.
【详解】 (1) 设切点的横坐标为x0，则曲线y=lnx在点(x0,lnx0)处的切线方程是 y?lnx0?1(x?x0). x0由该切线过原点知 lnx0?1?0，从而x0?e. 所以该切线的方程为 y?平面图形D的面积 A?1x. e?10(ey?ey)dy?1e?1. 2（2） 切线y?1x与x轴及直线x=e所围成的三角形绕直线x=e旋转所得的圆锥体积e 7
欢迎使用电驴VeryCD
为 V1?12?e. 3y2?(e?e)dy， ?01曲线y=lnx与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e旋转所得的旋转体体积为 V2?因此所求旋转体的体积为
112?y22 V?V1?V2??e???(e?e)dy?(5e?12e?3).
036
y 1
D O 1 e x
【评注】 本题不是求绕坐标轴旋转的体积，因此不能直接套用现有公式. 也可考虑用微元法分析，完全类似例题见《数学复习指南》P.197的【例7.34】和P.201的【例7.42】.
四 、（本题满分12分）
?1?2x(?1)n将函数f(x)?arctan展开成x的幂级数，并求级数?的和.
1?2x2n?1n?0【分析】 幂级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变形、求导或积分等，转化为可利用已知幂级数展开的情形。本题可先求导，再利用函数的幂级数展开和.
?211nn2n【详解】 因为f?(x)????2(?1)4x,x?(?,). ?2221?4xn?01 1?x1?1?x?x2???xn??即可，然后取x为某特殊值，得所求级数的1?x又f(0)=
?, 所以 4xf(x)?f(0)??f?(t)dt?0?4?2?[?(?1)n4nt2n]dt
0n?0x?(?1)n4n2n?111 =?2?x,x?(?,).
422n?02n?1??1(?1)n因为级数?收敛，函数f(x)在x?处连续，所以
2n?02n?1? 8
欢迎使用电驴VeryCD
(?1)n4n2n?111 f(x)??2?x,x?(?,].
422n?02n?1??令x?1，得 2?1?(?1)4n1??(?1)n f()??2?[, ?2n?1]???242n?142n?12n?0n?0再由f()?0，得
12(?1)n?1? ???f()?.
424n?02n?1?【评注】 完全类似例题见《数学复习指南》P.228的【例8.25】.
五 、（本题满分10分）
已知平面区域D?{(x,y)0?x??,0?y??}，L为D的正向边界. 试证： (1) (2)
?xeLLsinydy?ye?sinxdx??xe?sinydy?yesinxdx;
Lsiny?sinx2xedy?yedx?2?. ?【分析】 本题边界曲线为折线段，可将曲线积分直接化为定积分证明，或曲线为封闭
正向曲线，自然可想到用格林公式；(2)的证明应注意用(1)的结果.
【详解】 方法一：
(1) 左边=
???0?esinydy???e?sinxdx
??00 =? 右边=
??(esinx?e?sinx)dx，
?siny?0?e?0dy???esinxdx
?0 =?所以
(esinx?e?sinx)dx，
Lsiny?sinx?sinysinxxedy?yedx?xedy?yedx. ??L(2) 由于e
sinx?e?sinx?2，故由（1）得
?0siny?sinxsinx?sinx2xedy?yedx??(e?e)dx?2?. ??L方法二：
（1） 根据格林公式，得
siny?sinxsiny?sinxxedy?yedx?(e?e)dxdy， ???LD 9
欢迎使用电驴VeryCD
?sinysinx?sinysinxxedy?yedx?(e?e)dxdy. ???LD因为D 具有轮换对称性，所以 故
??(eDsiny?e?sinx)dxdy=??(e?siny?esinx)dxdy，
DLsiny?sinx?sinysinxxedy?yedx?xedy?yedx. ??L (2) 由(1)知
siny?sinxsiny?sinxxedy?yedx?(e?e)dxdy ???LD = = =
??eDDsinydxdy???e?sinxdxdy
DDsinx?sinxedxdy?e????dxdy （利用轮换对称性） sinx?sinx2(e?e)dxdy?2dxdy?2?. ????DD【评注】 本题方法一与方法二中的定积分与二重积分是很难直接计算出来的，因此期
望通过计算出结果去证明恒等式与不等式是困难的. 另外，一个题由两部分构成时，求证第二部分时应首先想到利用第一部分的结果，事实上，第一部分往往是起桥梁作用的.
本题完全类似例题见《数学复习指南》P.325的【例12.15】, 相当于此例题中取
?(x)?e?sinx，也就是说，本题是【例12.15】的特殊情形.
六 、（本题满分10分）
某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0 (1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？ (2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？ （注：m表示长度单位米.） 【分析】 本题属变力做功问题，可用定积分进行计算，而击打次数不限，相当于求数列的极限. 【详解】 (1) 设第n次击打后，桩被打进地下xn，第n次击打时，汽锤所作的功为 Wn(n?1,2,3,?). 由题设，当桩被打进地下的深度为x时，土层对桩的阻力的大小为kx， 所以 k2k2kxdx?x1?a， ?022x2k2k222 W2??kxdx?(x2?x1)?(x2?a). x122 W1?x1由W2?rW1可得 10 百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库2003年考研数学（一）试题及答案解析(2)在线全文阅读。
相关推荐：