11统计算法复数同步练习(7)

夷陵中学2012届高三第一轮复习数学同步练习 概率

3?3?9·?5?2·B．C119·?8??8?8 ?5?9·?3?2 C．C119·?8??8??3?9·?5?2 D．C119·?8??8?

[答案] B

3

[解析] 从口袋中任取一球，取到红球的概率为.重复进行了ξ次取球试验，其中红球恰

8

好取到了10次，ξ＝12即进行了12次试验，其中前11次试验中出现了9次红球，第12次试验结果为红球，

?3?9×?5?2×3. ∴P(ξ＝12)＝C119·?8??8?8

10．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{an}：

??－1 第n次摸取红球an＝?，如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S7＝3的概率为( )

?1 第n次摸取白球?

1?2?2?5

A．C75??3?·?3?

2?2?1?5

B．C72??3?·?3?

1?2?2?5

C．C75??3?·?3?

1?2?2?5

D．C73??3?·?3? [答案] B

[分析] 关键是弄清S7＝3的含义：S7＝a1＋a2＋?＋a7，而ai的取值只有1和－1，故S7＝3表示在ai的七个值中有5个1、2个－1，即七次取球中有5次取到白球、2次取到红球．

[解析] S7＝a1＋a2＋?＋a7＝3表示七次取球试验中，有2次取到红球，而一次取球中，

2

取到红球的概率P1＝，

3

2?2?1?5

∴所求概率为P＝C72??3?·?3?. 二、填空题 11．(2010·山东枣庄模拟)设随机变量X～B(n,0.5)，且D(X)＝2，则事件“X＝1”的概率为________(用数字作答)

1

[答案]

32

[解析] ∵X～B(n,0.5)，∴D(X)＝n×0.5×(1－0.5)＝2，∴n＝8.∴事件“X＝1”的概率

1－

为P(X＝1)＝C81×0.5×0.581＝. 32

12．为了了解学生的体能素质，随机抽取一小组进行体能检测，要求每位学生长跑、跳远至少通过一项才算合格，已知通过长跑测试的有2人，通过跳远测试的有5人，现从中选

7

2人，设ξ为选出的人中既通过长跑测试又通过跳远测试的人数，且P(ξ>0)＝，则该小组

10

有______人．

[答案] 5

- 37 -

夷陵中学2012届高三第一轮复习数学同步练习 概率

[解析] 设该小组共有x人，其中既通过长跑测试又通过跳远测试的有y人，则 CC－＋C7??P?ξ>0?＝yxy2y＝

Cx10 ?

???2－y?＋y＋?5－y?＝x

112

解得x＝5或x＝(舍去)．

37

所以该小组一共有5人．

13．在一次考试的5道题中，有3道理科题和2道文科题，如果不放回的依次抽取2道题，则在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率为________．

1

[答案] 2

[解析] 设第一次抽到理科题为事件A，第二次抽到理科题为事件B，则两次都抽到理科题为事件A∩B，

33

∴P(A)＝，P(A∩B)＝，

510P?A∩B?1

∴P(B|A)＝＝. 2P?A?

[点评] 由于是不放回抽样，故在第一次抽到理科题条件下，相当于有2道理科题和2

1

道文科题，从中抽一道，抽到理科题的概率为多少，故为P＝. 2

14．(2010·上海大同中学模考)一个箱子中装有大小相同的1个红球，2个白球，3个黑球，现从箱子中一次性摸出3个球，每个球是否被摸出是等可能的，用ξ表示摸出的黑球数，则ξ的数学期望E(ξ)＝________.

3

[答案] 2

C33C301

[解析] P(ξ＝0)＝＝，

C6320

21C3C39C31C329

P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，

C6320C632003C3C31

P(ξ＝3)＝， 3＝C620

19913

∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

202020202

三、解答题 15．(2010·温州十校)一袋子中有大小相同的2个红球和3个黑球，从袋子里随机取球，取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分．

(1)若从袋子里一次取出3个球，求得4分的概率；

(2)若从袋子里每次摸出一个球，看清颜色后放回，连续摸2次，求所得分数ξ的分布列及数学期望．

C32C213

[解析] (1)从袋子里一次取出3个球，得4分的概率为P＝＝.

C535

3?2932121

(2)依题意，ξ的可能取值为2,3,4.P(ξ＝2)＝?＝，P(ξ＝3)＝C××＝，P(ξ＝4)2

?5?255525

2?24＝??5?＝25，

故ξ的分布列为

- 38 -

1

1

2

夷陵中学2012届高三第一轮复习数学同步练习 概率 2 3 4 9124P 252525912414故ξ的数学期望E(ξ)＝2×＋3×＋4×＝.

2525255

[点评] 取球问题是随机变量的常见题型，要注意球有无颜色限制，摸球的方法，终止摸球的条件，记分方法等等附加了哪些限制条件，请再练习下列两题：

1°口袋里装有大小相同的4个红球和8个白球，甲、乙两人依规则从袋中有放回地摸球，每次摸出一个，规则如下：①若一方摸出一个红球，则此人继续进行下一次摸球；若一方摸出一个白球，则换成对方进行下一次摸球；②每一次摸球彼此相互独立，并约定由甲开始进行第一次摸球．求在前三次的摸球中：

(1)乙恰好摸到一次红球的概率； (2)甲至少摸到一次红球的概率；

(3)甲摸到红球的次数ξ的分布列及数学期望．

[解析] 记“甲摸球一次摸出红球”为事件A，“乙摸球一次摸出红球”为事件B，则

41－－2

P(A)＝P(B)＝＝，P(A)＝P(B)＝，且事件A，B相互独立．

34＋83

(1)在前三次摸球中，乙恰好摸到一次红球的概率为

－－－

P′＝P(AAB)＋P(ABB) 1212122＝××＋××＝. 3333339

(2)因为甲在前三次摸球中，没有摸到红球的概率为

－－－－P1＝P(A·B)＋P(A·B·A) 212?314＝×＋?＝， 33?3?27

所以甲至少摸到一次红球的概率为

1413

P2＝1－P1＝1－＝. 2727

(3)根据题意，ξ的可能取值为0,1,2,3，则

－－－－

P(ξ＝0)＝P(A·B)＝P(A·B·A) 212?314＝×＋?＝， 33?3?27

－－－

P(ξ＝1)＝P(A·A)＝P(A·B·A) 122?2110＝×＋?×＝， 33?3?327

－?1?222

P(ξ＝2)＝P(A·A·A)＝?3?×＝，

3271?31

P(ξ＝3)＝P(A·A·A)＝??3?＝27. 故ξ的分布列为

ξ 0 1 2 3 141021P 2727272714102117数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

2727272727

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ξ 夷陵中学2012届高三第一轮复习数学同步练习 概率

2°袋中共有10个大小相同的编号为1、2、3的球，其中1号球有1个，2号球有m个，3号球有n个．从袋中依次摸出2个球，已知在第一次摸出3号球的前提下，再摸出一个2

1

号球的概率是.

3

(1)求m，n的值；

(2)从袋中任意摸出2个球，设得到小球的编号数之和为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ)．

[解析] (1)记“第一次摸出3号球”为事件A，“第二次摸出2号球”为事件B，则P(B|A)m1＝＝， 93

∴m＝3，n＝10－3－1＝6. (2)ξ的可能的取值为3,4,5,6.

1·C61＋C3211·C311

P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，

C10215C1025112C3C62C61

P(ξ＝5)＝＝. 2＝，P(ξ＝6)＝C105C1023ξ的分布列为

ξ 3 4 5 6 1121P 155531121E(ξ)＝3×＋4×＋5×＋6×＝5.

15553

16．(2010·广东理，17)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的重量(单位：克)，重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，?，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．

(1)根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．

(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列．

(3)从该流水线上任取5件产品、求恰有2件产品的重量超过505克的概率． [解析] (1)重量超过505克的产品数量是 40×(0.05×5＋0.01×5)＝40×0.3＝12件． (2)Y的分布列为

Y 0 1 2 211C28C28C12C122P C402C402C402(3)从流水线上取5件产品，恰有2件产品的重量超过505克的概率是

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夷陵中学2012届高三第一轮复习数学同步练习 概率

28×27×2612×11

×

3×2×12×121×11231C283C122

＝＝. 5＝C4040×39×38×37×3637×19703

5×4×3×2×1

17．一位学生每天骑自行车上学，从他家到学校有5个交通岗，假设他在交通岗遇到红

1

灯是相互独立的，且首末两个岗遇到红灯的概率为p，其余3个交通岗遇到红灯的概率均为.

2

2

(1)若p＝，求该学生在第三个交通岗第一次遇到红灯的概率；

3

5

(2)若该学生至多遇到一次红灯的概率不超过，求p的取值范围．

18

[解析] (1)记“该学生在第i个交通岗遇到红灯”为事件Ai(i＝1,2，?，5)，

2111－－

1－?×?1－?×＝. 则P(A1A2A3)＝??3??2?212

1

即该学生在第三个交通岗第一次遇到红灯的概率为.

12

(2)“该学生至多遇到一次红灯”指“没有遇到红灯(记为A)或恰好遇到一次红灯(记为B)”，

?1－1?3＝1(1－p)2， P(A)＝(1－p)2·?2?8

11131

1－?2×＋C21p(1－p)×?1－?3＝(1－p)2＋p(1－p)． P(B)＝(1－p)2·C31??2?2?2?84

1315

由(1－p)2＋(1－p)2＋p(1－p)≤得， 8841818

≤p≤，又0≤p≤1，且p＝1时，首末两个交通岗都必遇到红灯，不合题意，所以p33

?1?的取值范围是?，1?. ?3?

第10章 第9节

一、选择题 1．(2010·新课标全国理)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( )

A．100 B．200 C．300 D．400 [答案] B

[解析] 记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B(1 000，0.1)，所以E(ξ)＝1 000×0.1＝100，而X＝2ξ，故E(X)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝200，故选B.

2．设随机变量ξ的分布列如下：

ξ 0 1 －1

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