[2，2.5) [2.5，3) [3，3.5) [3.5，4] 20 12 b 0.20 0.12
解 (1)由频率分布直方图可得a＝0.530.5＝0.25， ∴月均用水量为[1.5，2)的频数为25. 故2b＝100－92＝8，得b＝4.
由频率分布表可知，户月均用水量不超过3吨的频率为0.92，
根据样本估计总体的思想，估计该社区家庭月均用水量不超过3吨的频率为0.92.
(2)从A1、A2、A3、B1、B2五位代表中任选两人共有10种不同选法，分别为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)、(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)
记“B1、B2至少有一人被选中”的事件为A，则事件A包含的基本事件为(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共7个． 7所以P(A)＝10.
7
即居民代表B1、B2至少有一人被选中的概率为10.
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E、F分别在线段BC和AD上，EF∥AB，将矩形ABEF沿EF折起，记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF.
(1)求证：NC∥平面MFD； (2)若EC＝3，求证：ND⊥FC； (3)求四面体N－FEC体积的最大值．
(1)证明 因为四边形MNEF、EFDC都是矩形， 所以MN∥EF∥CD，MN＝EF＝CD.
所以四边形MNCD是平行四边形．所以NC∥MD. 因为NC?平面MFD，MD?平面MFD， 所以NC∥平面MFD. (2)证明 如图，连接ED，
设ED∩FC＝O.
因为平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF， 由面面垂直的性质定理，得NE⊥平面ECDF. 因为FC?平面ECDF，所以FC⊥NE.
因为EC＝CD，所以四边形ECDF为正方形，所以FC⊥ED. 又因为ED∩NE＝E，所以FC⊥平面NED. 因为ND?平面NED，所以ND⊥FC. (3)解 设NE＝x，则EC＝4－x，其中0 所以四面体N－FEC的体积为 11 VN－FEC＝3S△EFC2NE＝2x(4－x)． 1?x＋（4－x）?2 ?＝2. 所以VN－FEC≤2?2?? 当且仅当x＝4－x，即x＝2时，四面体N－FEC的体积最大．最大值为2. 3332 4．设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有a31＋a2＋a3＋?＋an＝Sn， 记Sn为数列{an}的前n项和． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝3n＋(－1)n－1λ22an(λ为非零常数，n∈N*)，问是否存在整数λ，使得对任意n∈N*，都有bn＋1>bn. 2 解 (1)在已知式中，当n＝1时，a31＝a1，∵a1>0，∴a1＝1，当n≥2时， 3332a1＋a32＋a3＋?＋an＝Sn， ① ② 3332a1＋a32＋a3＋?＋an－1＝Sn－1， 32①－②得，an＝S2n－Sn－1＝(Sn－Sn－1)(Sn＋Sn－1)， ∵an>0，∴a2n＝Sn＋Sn－1＝2Sn－an，③ ∵a1＝1适合上式 2当n≥2时，an－1＝2Sn－1－an－1， ④ 2③－④得an－a2n－1＝2(Sn－Sn－1)－an＋an－1＝2an－an＋an－1＝an＋an－1. ∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝1，∴数列{an}是等差数列，首项为1，公差为1，可得an＝n. (2)由(1)知：bn＝3n＋(－1)n－1λ22n ∴bn＋1－bn＝[3n＋1＋(－1)nλ22n＋1]－[3n＋(－1)n－1λ22n] ＝2·3n－3λ(－1)n－122n>0 ∴(－1) n－1 ?3?n－1 2λ ?? ⑤ ⑥ ?3?2k－2 当n＝2k－1，k＝1，2，3，?时，⑤式即为λ ??依题意，⑥式对k＝1，2，3，?都成立，∴λ<1， ?3?2k－1 当n＝2k，k＝1，2，3，?时，⑤式即为λ>－?2?， ?? ⑦ 依题意，⑦式对k＝1，2，3，?都成立， 33 ∴λ>－2，∴－2<λ<1，又λ≠0，∴存在整数λ＝－1，使得对任意n∈N*，都有bn＋1>bn. x2y2 5．已知椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)的两个焦点F1，F2和上下两个顶点B1，B2是一个边长为2且∠F1B1F2为60°的菱形的四个顶点． (1)求椭圆C的方程； (2)过右焦点F2的斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于E、F两点，A为椭圆的右顶点，直线AE，AF分别交直线x＝3于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k′，求证： k·k′为定值． x2y2 (1)解 由条件知a＝2，b＝3，故所求椭圆方程为4＋3＝1. (2)证明 设过点F2(1，0)的直线l方程为：y＝k(x－1)，设点E(x1，y1)，点F(x2，x2y2y2)，将直线l方程y＝k(x－1)代入椭圆C的方程4＋3＝1，整理得：(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，因为点F2在椭圆内，所以直线l和椭圆相交，Δ>0恒4k2－128k2 成立，且x1＋x2＝2，x1x2＝2. 4k＋34k＋3直线AE的方程为：y＝ y1y2(x－2)，直线AF的方程为：y＝(x－2)， x1－2x2－2 y1??3，令x＝3得点M ?x－2?， ?1? y2?y2??1?y1?? N ?3，x－2?，∴点P坐标为?3，2?x－2＋x－2??， ?2???12??y2?1?y1 ?x－2＋x－2?－02?11y1y22? 直线PF2的斜率为k′＝＝(＋) 4x1－2x2－23－11y2x1＋x2y1－2（y1＋y2）12kx1x2－3k（x1＋x2）＋4k ＝42＝42. x1x2－2（x1＋x2）＋4x1x2－2（x1＋x2）＋44k2－128k2 将x1＋x2＝2，x1x2＝2代入上式得： 4k＋34k＋3 4k2－128k22k22－3k·2＋4k 4k＋34k＋313 k′＝4＝－4k. 4k2－128k2－222＋4 4k2＋34k＋33 所以k·k′为定值－4. 6．设函数f(x)＝(x＋1)ln x－2x. (1)求函数的单调区间； 1 (2)设h(x)＝f′(x)＋ex，若h(x)>k(k∈Z)恒成立，求k的最大值． 解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)． 1111x－1 f′(x)＝ln x＋x－1，不妨令g(x)＝ln x＋x－1，g′(x)＝x－x2＝x2， 当x>1，g′(x)>0，函数g(x)＝f′(x)单调递增，又因为f′(x)>f′(1)＝0，所以x>1，f′(x)>0，函数f(x)单调递增； 当0 所以函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 11111xe－e－xxx (2)h(x)＝ln x＋x－1＋ex，h′(x)＝x－x2－ex＝，设φ(x)＝xe－e－2xxex2，φ′(x)＝xex－2x＝x(ex－2)，当x∈(0，ln 2)，φ′(x)<0，函数φ(x)单调递减， 又因为φ(x)<φ(0)＝－1<0，所以0 11111 所以有h(x)≥h(x0)＝ln x0＋x－1＋ex，又ex＝x－x2，所以h(x)≥h(x0)＝ln x0 00000112121 ＋x－1＋ex＝ln x0＋x－x2－1，不妨令M(x)＝ln x＋x－x2－1，当x∈(1，2)0000时， x x 2 百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库教师2(8)在线全文阅读。
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