2014年全国各地中考数学试卷解析版分类汇编全等三角形(3)

∴BP是以点D为圆心、以1为半径的OD的切线，点P为切点． 第一种情况：如图①，过点A作AP的垂线，交BP于点P/， 可证△APD≌△AP/B,PD=P/B=1, CD=2,∴BD=2,BP=3, ∴AM=

1/13?1PP=(PB－BP/)= 222

第二种情况如图②，

可AM

得

1/13?1PP=(PB+BP/)= 2229. （2014?江苏苏州,第23题6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、F分别在AB、AC上，CF=CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF． （1）求证：△BCD≌△FCE；

（2）若EF∥CD，求∠BDC的度数．

考点：全等三角形的判定与性质；旋转的性质 分析：（1）由旋转的性质可得：CD=CE，再根据同角的余角相等可证明∠BCD=∠FCE，再 根据全等三角形的判定方法即可证明△BCD≌△FCE； （2）由（1）可知：△BCD≌△FCE，所以∠BDC=∠E，易求∠E=90°，进而可求出∠BDC的度数． 解答：（1）证明：∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE， ∴CD=CE，∠DCE=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠BCD=90°﹣∠ACD=∠FCE， 在△BCD和△FCE中， ， ∴△BCD≌△FCE（SAS）．

（2）解：由（1）可知△BCD≌△FCE， ∴∠BDC=∠E， ∵EF∥CD， ∴∠E=180°﹣∠DCE=90°， ∴∠BDC=90°． 点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、同角的余角相等、旋转的性质、平行线的性质， 全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 10．（2014?四川遂宁，第20题，9分）已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是CD中点，连结OE．过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F，连结DF．求证：

（1）△ODE≌△FCE； （2）四边形ODFC是菱形．

考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定． 专题：证明题． 分析：（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠DOE=∠CFE，根据线段中点的定义可得 CE=DE，然后利用“角边角”证明△ODE和△FCE全等； （2）根据全等三角形对应边相等可得OD=FC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC是平行四边形，根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 解答：证明： （1）∵CF∥BD， ∴∠DOE=∠CFE， ∵E是CD中点， ∴CE=DE， 在△ODE和△FCE中， ， ∴△ODE≌△FCE（ASA）；

（2）∵△ODE≌△FCE， ∴OD=FC， ∵CF∥BD， ∴四边形ODFC是平行四边形， 在矩形ABCD中，OC=OD， ∴四边形ODFC是菱形． 点评：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，熟记各性质与平行 四边形和菱形的判定方法是解题的关键． 11．（2014?四川宜宾，第18题，6分）如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC．求证：AD=BC．

考点： 专题： 分析： 全等三角形的判定与性质；平行线的性质． 证明题． 根据平行线求出∠A=∠C，求出AF=CE，根据AAS证出△ADF≌△CBE即可． 解答： 证明：∵AD∥BC， ∴∠A=∠C， ∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF， 即AF=CE， ∵在△ADF和△CBE中 ， ∴△ADF≌△CBE（AAS）， ∴AD=BC． 点评： 本题考查了平行线的性质和全等三角形的性质和判定的应用，判定两三角形

全等的方法有：SAS、ASA、AAS、SSS． 12．（2014?四川凉山州，第21题，8分）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF． （1）试说明AC=EF；

（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．

考点： 专题： 分析： 平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质 证明题；压轴题． （1）首先Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又因为△ABE是等边三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后即可证明△AFE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF； （2）根据（1）知道EF=AC，而△ACD是等边三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形． 证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°， ∴AB=2BC， 又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB， ∴AB=2AF ∴AF=BC， 在Rt△AFE和Rt△BCA中， ， ∴△AFE≌△BCA（HL）， ∴AC=EF； （2）∵△ACD是等边三角形， ∴∠DAC=60°，AC=AD， ∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90° ∴EF∥AD， ∵AC=EF，AC=AD， ∴EF=AD， ∴四边形ADFE是平行四边形． 点评： 此题是首先利用等边三角形的性质证明全等三角形，然后利用全等三角形的性质和等边三角形的性质证明平行四边形． 解答： 13．（2014?四川泸州，第19题，6分）如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为点G．

求证：AE=BF．

考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质． 专题：证明题． 分析：根据正方形的性质，可得∠ ABC与∠C的关系，AB与BC的关系，根据两直线垂直，可得∠AGB的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得∠ABG与∠BAG的关系，根据同角的余角相等，可得∠BAG与∠CBF的关系，根据ASA，可得三角形全等，根据全等三角形的性质，可得答案． 解答：证明：∵ 正方形ABCD， ∴∠ABC=∠C，AB=BC． ∵AE⊥BF， ∴∠AGB=90°∠ABG+∠CBF=90°， ∵∠ABG+∠FNC=90°， ∴∠BAG=∠CBF． 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴AE=BF． 点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了正方形的性质，直角三角形的性质，余 角的性质，全等三角形的判定与性质． 14．（2014?四川内江，第18题，9分）如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P． （1）求证：△ABM≌△BCN； （2）求∠APN的度数．

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