江苏省海安高级中学2018届高三1月月考(3)

综上，满足要求的实数k有且仅有一个，k?? （Ⅲ）当k??2；---------------------------------9分 511时，an?1??(an?an?2)，所以an?2?an?1??(an?1?an)， 22于是an?3?an?2??(an?2?an?1)?an?1?an．----------------------------------------11分

1? 当n为偶数时，Sn?(a1?a2)?(a3?a4)?(a5?a6)???(an?1?an)?nn(a?1)(a1?a2)?； 22---------------------------------------------------------------------------------13分

2? 当n为奇数时，Sn?a1?(a2?a3)?(a4?a5)???(an?1?an)?a1??a1?n?1(a2?a3) 2n?1n?1?[?(a1?a2)]?1?(a?1)（n?2），当n?1时，也适合该式， 22?n?11?(a?1),n为奇数??2所以Sn??．-----------------------------------------------16分

?n(a?1),n为偶数??2/20.【解析】（Ⅰ）f(x)?a1ax?1??（x?0）. xx2x2当a?0时，f/(x)?0，f(x)的递减区间为(0,??)；----------------------------1分 当a?0时，由f/(x)?0得x?1，列表得： a1 a1(,??) ax f/(x) f(x) 1(0,) a? 递减 0 极小值 ? 递增 所以，函数f(x)的递减区间为(0,)，递增区间为(,??)；-----------------------4分 （Ⅱ）因为存在两条直线y?ax?b1、y?ax?b2（b1?b2）都是曲线y?f(x)的切线， 所以f(x)?a至少有两个不等的正根，-----------------------------------------------5分

/令f(x)?1a1a/ax?12?aax?ax?1?0，记其两个根为x1、x2（x1?x2），得， 2x???a2?4a?0?则?，解得a?4，------------------------------------------------------------------------------------7分 1?x1x2??0a?而当a?4时，曲线y?f(x)在点(x1,f(x1))、(x2,f(x2))处的切线分别为y?ax?f(x1)?ax1、，由 y?ax?f(x2)?ax2，设F(x)?f(x)?ax（x?0）

?ax2?ax?1?a(x?x1)(x?x2)/F(x)?f(x)?a??知，当时，x?x?xF(x)?0即F(x)在区1222xx//间[x1,x2]上是单调函数，因此F(x1)?F(x2)，所以y?ax?f(x1)?ax1、y?ax?f(x2)?ax2不重合，即y?ax?b1、y?ax?b2（b1?b2）是曲线y?f(x)的两条不同的切线，故a?4；----------------10分

（Ⅲ）当a?0时，函数f(x)是(0,??)内的减函数，因为f(e?1a)?aln(e)??1a1e?1a?e?1?0，而

1ae?(0,1)，不符合题意；----------------------------------------------------------12分

当a?0时，由（Ⅰ）知f(x)的最小值为f()??alna?a?a(1?lna).

?1a1a11? 若f()?0即0?a?e时，?x|f(x)?0????(0,1)，所以0?a?e符合题意；

a1?1?2?若f()?0即a?e时，?x|f(x)?0?????(0,1)，所以a?e符合题意；

a?e?1113?若f()?0即a?e时，0??1，而f(1)?1?0，函数f(x)在(,??)内递增，所以当

aaax?1时，f(x)?0，又因为f(x)的定义域为(0,??)，所以?x|f(x)?0??(0,1)，符合题意.

综上，实数a的取值范围为(0,??).----------------------------------------------16分

?a?6?8?a?2?1??a3??1??a?6??8?【解析】因为A????，所以，解得， ??????2??2?2d??4?22d???????????2?2d?4?d?1所以A???23?，--------------------------------------------------------------------------------5分 ??21?其特征多项式为f(?)???2?2?3?(??2)(??1)?6??2?3??4， ??1令f(?)?0，解得特征值为?1??1，?2?4．----------------------------10分

??x?1??【解析】（Ⅰ）直线l的参数方程为??y?1???2t2（为参数）

． t2t2消去参数t可得直线l的普通方程为x?y?2?0；---------------------------------------2分 圆C的方程为??4cos?，即?2?4?cos?，

可得圆C的直角坐标方程为(x?2)2?y2?4．------------------------------------------4分

??x?1??（Ⅱ）将??y?1???2t2代入(x?2)2?y2?4得t2?22t?2?0， 2t2设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，

则t1?t2??22?0，t1t2??2?0，所以PA?PB?|t1?t2|?(t1?t2)2?4t1t2?4．------10分

?x?y?2?02得x?4x?2?0，则x?2?2，---------------------------------------6分 ?22另解：由?(x?2)?y?4不妨取A(2?2,2)，则B(2?2,?2)，---------------------------------------------------------------8分

PA?(2?2?1)2?(2?1)2?2(2?1)?2?2，

PB?(2?2?1)2?(?2?1)2?2(2?1)?2?2所以

，

PA?PB?2?2?2?2?4--------------------------------------------------10分

【解析】（Ⅰ）抛物线C：y2?2px（p?0）的焦点为(由点(p,0)， 2pp,0)在直线l：x?y?4?0上得?0?4?0，即p?8， 22所以抛物线C的方程为y2?16x；-------------------------------------------------2分 （Ⅱ）设P(x1,y1)、Q(x2,y2)，线段PQ的中点M(x0,y0)．

因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ， 于是PQ的方程可设为y??x?b．

?y2?2px①证明：由?得y2?2py?2pb?0??（﹡），

y??x?b?因为P和Q是抛物线C上相异两点，所以y1?y2，

从而??(2p)2?4?(?2pb)?0，化简得p?2b?0，方程（﹡）的两根为

y1,2??p?p2?2pb，从而y0?y1?y2??p． 2因为M(x0,y0)在直线l上，所以x0?4?p，

因此，线段PQ的中点坐标为(4?p,?p)；--------------------------6分 ②因为M(4?p,?p)在直线y??x?b上， 所以?p??(4?p)?b，即b?4?2p．

由①知p?2b?0，于是p?2(4?2p)?0，所以p?8， 383【解析】（Ⅰ）对于(2x?1)n?a0?a1x?a2x2???anxn，

即p的取值范围为(0,)．-------------------------------------------10分

取x?1得a0?a1?a2???an?1；-------------------------------------------------------------2分 （Ⅱ）①对(2x?1)n?a0?a1x?a2x2???anxn两边求导得

2n(2x?1)n?1?a1?2a2x?3a3x2???nanxn?1，

取x?1得1a1?2a2?3a3???nan?2n；--------------------------------6分 ②将2n(2x?1)n?1?a1?2a2x?3a3x2???nanxn?1两边乘以x得

2n(2x?1)n?1?x?a1x?2a2x2?3a3x3???nanxn，两边求导得

2n[(2(n?1)(2x?1)n?2x?(2x?1)n?1]?a1?22a2x?32a3x2???n2anxn?1，

取x?1得12a1?22a2?32a3???n2an?4n2?2n．-----------------------10分

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