高中化学竞赛经典讲义(2)

二二二二 =二二+二二二二

6. 点阵单位

(1) 直线点阵：分布在同一直线上的点阵。

a

在直线点阵中，连接相邻两个点阵点的向量，称为直线点阵的素向量，用a表示(晶体学中往往用字母加下划线代表向量)。2a、3a、3a等称为复向量。 素向量a的长度a称为直线点阵的点阵参数。

以任何一个阵点为原点，所有点阵点都落在下式所表示的向量的端点上。

Tm?ma (m=0, ?1, ?2, …)

上式称为平移群。这是因为这些向量的集合满足群的定义，构成了一个群，群的乘法规则是向量加法。按照任何一个向量移动阵点，点阵能与原来位置完全重合。平移群是点阵的代数形式。 (2) 平面点阵：分布在平面上的点阵。

选择任意一个阵点作为原点，连接两个最相邻的两个阵点作为素向量a，再在其它某个方向上找到最相邻的一个点，作素向量b。

素向量b的选择有无数种方式，如下图中的b1和b2均可作为素向量。

bab1ab2a

素向量a和b的长度a、b，以及两者的夹角?=a?b，称为平面点阵的点阵参数。 平面点阵的平移群可表示为

Tm,n?ma?nb (m,n=0, ?1, ?2, …)

根据所选择的素向量，将各点阵点连上线，平面点阵划分为一个个并置堆砌的平行四边形，平面点阵形成由线连成的格子，称为平面格子。其中的每个平行四边形称为一个单位。

所谓并置堆砌，是指平行四边形之间没有空隙，每个顶点被相邻的4个平行四边形共用。下面两种图形都不满足并置堆砌的定义。

由于素向量的选择方式有无数种，因此，平面格子也有无数种，下图为对同一平面点阵画出的2种平面格子。

baab 相应的单位分别为下图所示的平行四边形。

平行四边形单位顶点上的阵点，对每个单位的平均贡献为1/4；内部的阵点，对每个单位的贡献为1。因此，上图左侧所示的单位只含有一个阵点，这种单位称为素单位；右侧所示的单位含有2个阵点，这种含有2个或2个以上阵点的单位称为复单位。

注意：素向量不一定构成素单位，如上面例子中的复单位就是由素向量构成的。

为方便研究，常采用正当单位，即，在考虑对称性尽量高的前提下，选取含点阵点尽量少的单位。这要求：①素向量之间的夹角最好是90?，其次是60?，再次是其它角度；②选用的素向量尽量短。对于平面格子，正当单位只有4种形状(5种型式)：正方形、矩形、带心矩形、六方和平行四边形。

aba=ba?b=90oaba1ba?b=90oaba1ba?b=90oaba=ba?b=120oaa1ba?b1120o

? 只有矩形正当单位有带心的(复单位)，其它的都是素单位。如，如果正方形格子带心，一定可以取出更小的正方形素单位。

带心的正方形复单位(非正当单位)更小的正方形素单位(正当单位)

(2) 空间点阵：分布在三维空间的点阵。

选择任一点阵点为原点，分别和邻近的3个点阵点相连，构成三个素向量a、b、c，这3个素向量要求互相不平行。

3个素向量的长度a、b、c以及彼此间的夹角?＝b ? c、?＝a? c、?=a? b称为空间点阵的点阵参数。 空间点阵的平移群可表示为

Tm,n,p?ma?nb?pc (m,n,p=0, ?1, ?2, …)

按照选择的素向量，将点阵点连上线，把空间点阵划分并置堆砌的平行六面体 (这时，每个顶点被八个平行六面体共有)，空间点阵形成的由线连成的格子称为晶格。

划分出的每个平行六面体为一个单位。平行六面体单位顶点上的点阵点，对每个单位的平均贡献为1/8；面上的点阵点对每个单位的贡献为1/2，内部的点阵点，对每个单位的贡献为1。根据平行六面体单位中包含的点阵点的数目，分为素单位和复单位。

空间点阵的正当单位有七种形状(十四种型式)，具体讨论见“晶体的对称性”一节。

7. 点阵点、直线点阵、平面点阵的指标

对空间点阵，选择素向量a、b、c。以任一点阵点为原点，定义坐标轴x、y、z的方向分别和a、b、c平行，可以在该坐标系中标记各个点阵点、直线点阵、平面点阵的指标。 (1) 点阵点指标 uvw

从原点向某一点阵点作矢量r，并将矢量用素向量表示为r=ua+vb+wc，uvw称为该点阵点的指标。点阵点指标可以为任意整数。下图中标出了指标为221的点阵点。

z221yx (2) 直线点阵指标(或晶棱指标) [uvw]

空间点阵可以划分为一组相互平行、间距相等的直线点阵。

一组相互平行的直线点阵用直线点阵指标 [uvw]进行标记，其中u、v、w是三个互质的整数，它们的取向与矢量ua+vb+wc相同。

晶体外形上晶棱的记号与和它平行的直线点阵相同。 (3) 平面点阵指标(或晶面指标、密勒指标) (h*k*l*)

空间点阵可以划分为一组相互平行、间距相等的平面点阵。

设一组平面点阵和三个坐标轴相交，其中一个平面在三个轴上的截距分别为ra,sb,tc，r,s,t称为截数。有时平面会与某个轴平行，这时，在该轴上的截距为无穷大，为了避免这种情况，对截长取倒数1/r,1/s,1/t，这些倒数称为倒易截数。将把倒易截数进一步化作互质的整数h*,k*,l*，

1/r : 1/s : 1/t = h* : k* : l*

(h*k*l*)称为平面点阵指标。它表示一组相互平行的平面点阵。

z(111)yx

晶体外形上的晶面用和它平行的一组平面点阵的指标进行标记。

8. 晶胞的划分

根据素向量，可以将空间点阵划分为晶格，用晶格切割实际晶体，得到一个个并置堆砌的平行六面体，这些平行六面体不再是抽象的几何体，而是包括了晶体的具体组成物质，称为晶胞。晶胞是晶体结构中的基本重复单位。

晶胞可以是素晶胞，也可以是复晶胞，只含一个结构基元的晶胞称为素晶胞(在点阵中，相应的平行六面体单位含一个点阵点，为素单位)，否则称为复晶胞。

? 晶胞不等同于结构基元，它不一定是最小的重复单位，只有素晶胞才是最小的重复单位。

如果按照正当单位划分晶格，相应的，切割晶体得到的晶胞称为正当晶胞。正当晶胞可能是素晶胞，也可能是复晶胞。通常所说的晶胞是指正当晶胞。

? 晶胞一定是平行六面体，不能为六方柱或其它形状，否则不满足并置堆砌的要求。

9. 晶胞的基本要素

晶胞有两个基本要素：

①晶胞参数：晶胞的大小和形状。晶胞参数和点阵参数一致，由a,b,c,?,?,?规定，即平行六面体的边长和各边之间的夹角。

②坐标参数：晶胞内部各个原子的坐标位置。若从原点指向原子的向量可表示为r=xa+yb+zc，则原子的坐标参数为(x,y,z)。

【例】CsCl晶胞。八个顶点上只贡献一个原子，内部一个原子，因此晶胞中含有两个原子。

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