40.
??40dx??40?4xcosydy?___________ y?y112444?cosydy??dy?cosydx??cosydy?sinx0.
00y0y2??解:
?dx??4x41.直角坐标系下的二重积分
??D31f(x,y)dxdy(其中D为环域1?x2?y2?9)化为极坐
标形式为___________________________.
解：
??Df(x,y)dxdy??d??f(rcos?,rsin?)rdr.
0?3x?3x2?42.以y?C1e?C2xe?3x为通解的二阶常系数线性齐次微分方程为 .
?3x?C2xe解:由y?C1ey???6y??9y?0.
43.等比级数
?为通解知,有二重特征根-3,从而p?6,q?9,微分方程为
?aqn?0?n(a?0),当_______时级数收敛,当_______时级数发散.
解: 级数
?aqn?0n是等比级数, 当|q|?1时,级数收敛,当|q|?1时,级数发散.
1展开为x的幂级数为__________________
x2?x?211?11?1111?????????解: f(x)?2
x3?1?x2?x?31?x6x?x?2?1?2n??(?1)n?11?1?x1?nnn???(?1)x??n????x,(?1?x?1). n?1?3n?06n?0233?2?n?0?44.函数f(x)??n?2?45.???的敛散性为________的级数.
n?n?1? 解:limun?lim?n???n?n?2??2??lim??1??n??n???n??n?nn??(?2)2?e?2?0,级数发散.
三、计算题（每小题5分，共40分）
?x2?2??46．求lim?x???x2?3????x2?2??解：lim?x???x2?3???x2?52.
x2?52x2?52??1??lim?x????1??2x23x2???????lim2???1?2?x??3??1???x2??52x222????1?2?x??52x??x23??(?)323????1?2?x??5252
?2??lim?1?2?x??x??3??lim?1?2?x??x??x222????1?2?x??x23??(?)323????1?2?x??52?ee3?2?e.
47. 求limx4x?0?2x2.
000t31?t2dtx4解：limx?0?x???lim4x3x230t31?t2dtx?01?x?2x4?lim21?x4x?03?2.
dy. dxdy1解：?sin(1?2x)???cos(1?2x)?1?2x????2cos(1?2x) ?dxsin(1?2x)sin(1?2x)sin(1?2x) ??2cot(1?2x).
48.已知y?lnsin(1?2x),求49. 计算不定积分xarctanxdx.
??x2?x2x21??arctanx??dx 解：?xarctanxdx??arctanxd?2??2?221?x??x21?1??arctanx???1??dx 22?1?x2?x211?arctanx?x?arctanx?C. 222x50.求函数z?ecos(x?y)的全微分.
解：利用微分的不变性,
dz?d[excos(x?y)]?exdcos(x?y)?cos(x?y)dex ??exsin(x?y)d(x?y)?cos(x?y)exdx ??exsin(x?y)[dx?dy]?cos(x?y)exdx
?ex[cos(x?y)?sin(x?y)]dx?exsin(x?y)dy. y x51．计算??2d?，其中D是由y?2,y?x,xy?1所围成的闭区域. 2 Dy解：积分区域D如图所示:把区域看作
Y型,则有
1 y?x?x?y
??1D??(x,y)|1?y?2,?x?y?,
y??2yxx故 ??2dxdy??dy?12dx
1yyDy ?o 1
xy?1?x?x 1y
?21y211x2dy?1xdx??2dy?21y2yyy
1y12?1?1?1?17??. 1?dy?y???4?3???12?y?2?3y?148?sinx52．求微分方程y??ycosx?e满足初始条件y(0)??1的特解.
解:这是一阶线性非齐次微分方程,它对应的齐次微分方程y??ycosx?0的通解为
y?Ce?sinx,设y?C(x)e?sinx是原方程解,代入方程有C?(x)e?sinx?e?sinx,
?sinx?xe?sinx, 即有C?(x)?1,所以C(x)?x?C,故原方程的通解为y?Ce?sinx把初始条件y(0)??1代入得:C??1,故所求的特解为y?(x?1)e.
?23nnx的收敛半径及收敛区间(考虑区间端点). 53．求级数?n?0n?11解：这是标准的不缺项的幂级数,收敛半径R?,
??an?13n?1n?1n?1?lim?n?3lim?3, 而??limn??an??n?2n??n?23n故收敛半径R?1. 3?11当x?时,级数化为?,这是调和级数,发散的;
3n?0n?1?(?1)n1当x??时,级数化为?,这是交错级数,满足莱布尼兹定理的条件,收敛的;
3n?0n?1?11?所以级数的收敛域为??,?.
?33?
得分 评卷人
四、应用题（每题7分，共计14分） 2254. 过曲线y?x上一点M(1,1)作切线L，D是由曲线y?x，切线L及x轴所围成的
平面图形，求
（1）平面图形D的面积;
（2）该平面图形D绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积.
y 解：平面图形D如图所示：
因y??2x,所以切线L的斜率k?y?(1)?2, 切线L的方程为y?1?2(x?1),即y?2x?1
取x为积分变量，且x?[0,1]. 1 （1）平面图形D的面积为
y?x2?x?y
x32S??xdx??1(2x?1)dx?032111?(x?x)10221（2）平面图形D绕x轴旋转一周所生成旋转体的体积为 Vx??xdx??1(2x?1)dx??021?. o 11 122 1x
?14?12x5510?4x3??2?????2x?x??3?130.
??255.一块铁皮宽为24厘米,把它的两边折上去,做成一正截面为等腰梯形的槽(如下图),要
使梯形的面积A最大,求腰长x和它对底边的倾斜角?.
解: 梯形截面的下底长为24?2x,上底长为 24?2x?2xcos?,高为xsin?,所以截面面积为 A?1(24?2x?2xcos??24?2x)?xsin?, 2?(0?x?12,0???)
2即A?24xsin??2x2sin??x2sin?cos?,
x ? 24?2x
??A?24sin??4xsin??2xsin?cos??0?x?8???x?令?得唯一驻点??.
?A?????24xcos??2x2cos??x2(cos2??sin2?)?03??????根据题意可知,截面的面积最大值一定存在,且在D:0?x?12,0???内取得,又函数
2?在D内只有一个可能的最值点,因此可以断定x?8,??时,截面的面积最大.
3
得分 评卷人
?x??1?cos2xdx在区间(e,e3)内仅有一个实根. e0?x证明：构造函数 f(x)?lnx???1?cos2xdx,
e0?xx3即有f(x)?lnx??2?sinxdx?lnx??22,显然函数f(x)在区间[e,e]连续,
0ee且有f(e)?22?0,f(e3)?3?e2?22?6?e2?0,由连续函数的零点定理知方程
?xf(x)?0即lnx???1?cos2xdx在区间(e,e3)有至少有一实数根.
e0113另一方面, f?(x)??在区间(e,e)内恒小于零,有方程f(x)?0,即
xe?xlnx???1?cos2xdx在区间(e,e3)有至多有一实数根.
e0?x3综上所述, 方程lnx???1?cos2xdx在区间(e,e)内仅有一个实根.
e0
五、证明题（6分）
56. 证明方程lnx?
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