三、判断题（每小题2分，共10分） 你认为正确的在题后括号内划“√”，反之划“×”.
41.若数列?xn?单调，则
?xn?必收敛.
( )
解：如数列?n?单调，但发散，应为×。
42.若函数f(x)在区间?a,b?上连续，在(a,b)内可导，且f(a)?f(b)，则一定不存在，使. ??(a,b)f?(?)?0( )
解：如y?x2在??1,3?满足上述条件，但存在??0?[?1,3]，使得f?(?)?0，应为×。
x?sinx由洛比达法则1?cosxsinx43.lim??????lim?lim??1. ( )
x??x?sinxx??1?cosxx???sinxsinx1?x?sinx0?x?1。解：第二步不满足或，是错误的，事实上lim?limx??x?sinxx??sinx0?1?x应为×。
ln230??1?e?2xdx?ln244..
02( )
ln231?e?2xdx?ln2?ln2，解：因0?1?e?2x?1，由定积分保序性知：0??02应为√。
45.函数f(x,y)在点P(x,y)处可微是f(x,y)在P(x,y)处连续的充分条件.( )
解：f(x,y)在点P(x,y)处可微可得f(x,y)在点P(x,y)处连续，反之不成立，应为应为√。
得评卷人
分 四、计算题（每小题5分，共40分）
46．求lim?xsinx.
x?0 解： lim?xx?0sinx?lim?ex?0sinxlnx?ex?0limsinxlnxsinx~x??ex?0?limxlnx
lnxlimx?0?1x??x?0?lim?e???e?1x1x2?e?limxx?0??e0?1。
47.求函数y?x2?31?xdy的导数. 1?xdx1?ln|1?x|?ln|1?x|?，----（1分） 3121??11?? 两边对x求导得：y????，-------（3分）
yx3?1?x1?x??解： 两边取自然对数得 ln|y|?2ln|x|??211??即y??y???，------（4分） x3(x?1)3(x?1)??1?x?211?dy??故 ?x23?。-----（5分） 1?x?x3(x?1)3(x?1)dx??48.求不定积分?[e2x?ln(1?x)]dx. 解：?[e2x?ln(1?x)]dx?12xed(2x)??ln(1?x)dx ----（1分） 2?1x?e2x?xln(1?x)??dx -----（3分） 21?x11???e2x?xln(1?x)???1??dx--（4分） 21?x??1?e2x?xln(1?x)?x?ln(1?x)?C。----（5分） 249.计算定积分??02?2cos2xdx .
?解：因2?2cos2x?2(1?cos2x)?4cos2x，所以
??02?2cos2xdx??0?204cos2xdx??2|cosx|dx-----（2分）
0?2??2?cosxdx?2??cosxdx------（4分）
?2sinx?2sinx??2?2?4。-----（5分）
2?20?50.设z?f(esiny,3xy)，且f(u,v)为可微函数，求dz.
解：令exsiny?u,3x2y?v ，有z?f(u,v)，利用微分的不变性得 dz?fu?(u,v)du?fv?(u,v)dv?fu?d(exsiny)?fv?d(3x2y)----（3分） ?fu?(exsinydx?excosydy)?fv?(6xydx?3x2dy)------（4分） ?(exsinyfu??6xyfv?)dx?(excosyfu??3x2fv?)dy---（5分） 51．计算??x2dxdy，其中D为圆环区域：1?x2?y2?4.
Dx2解：积分区域D如图07-1所示：D的边界x2?y2?1、x2?y2?4用极坐标
y 表示分别为r?1，r?2；故积分区域D在极坐标系系下为
?(r,?)|0???2?,1?r?2?，----（2分）
2?2r?2 2故??xdxdy??d??r2cos2??rdr----（3分） r?1 01Dx
o422?22?rcos2?d? ??cos2?d??r3dr??01041152?152?22cos?d??2cos?d?---（4分） 图07-1 ??00482?152?15115? ??(1?cos2?)d??(??sin2?)?。---（5分）
8082402x52．将展开为x的幂级数，并写出收敛区间. 24?x ? 解： 因
2x11???22?x2?x4?xx?(?1,1)。
?n1x2(1?)2?1x2(1?)2；---（2分）
?1??xn1?xn?0?1?x??x?所以????x?(?2,2)；?????x?(?2,2)。--（3分）
xn?0?2?xn?0?2?1?1?22nn??1?(?1)n?n2x1??x?1??x??????????????xx?(?2,2)--（4分） 故2n?1??2n?0?2?2n?0?2?4?x2n?0??1n ??n?0?12n?1253．求微分方程x2dy?(y?2xy?x2)dx?0的通解.
1?2x解：方程可化为y??2y?1，这是一阶线性非齐次微分方程，---（1分）
x11?2x2x它对应的齐次方程y??2y?0的通解为y?Cxe，---（2分）
xx2n?1x?(?2,2)。--（5分）
设原方程有通解y?C(x)x2e，代入方程得C?(x)x2e?1，
1?x?即 C(x)?2e，--（3分）
x11?1?x所以 C(x)??2edx?ex?C，---（4分）
x11x1x故所求方程的通解为y?Cxe?x2。---（5分） 得评卷人
五、应用题（每题7分，共计14分） 分
54. 某工厂欲建造一个无盖的长方题污水处理池，设计该池容
积为V立方米，底面造价每平方米a元，侧面造价每平方米b元,
问长、宽、高各为多少米时，才能使污水处理池的造价最低？
V 解：设长方体的长、宽分别为x,y ，则高为，又设造价为z，---（1分）
xy由题意可得
V2bV2bV?axy??(x?0,y?0)；---（3分） z?axy?2b(x?y)xyyx2bV?z2bV?z?ax?2;在定义域内都有意义. 而?ay?2; ?y?xyx2bV??z?ay??02?2bV?xx?令?得唯一驻点x?y?3，-----（5分）
?z2bVa??ax??0?y2??y由题可知造价一定在内部存在最小值，故x?y?32bV就是使造价最小的取a21x2aV值，此时高为3。
2b2aV2bV2bV所以，排污无盖的长方体的长、宽、高分别为3、3、3时，工
2baa程造价最低。---（7分）
55. 设平面图形D由曲线y?ex,直线y?e及y轴所围成.?求：
y?ex （1）平面图形D的面积;? y
(2) 平面图形D绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积.? 解：平面图形D如图07-2所示：---（1分） e 取x为积分变量，且x?[0,1] （1）平面图形D的面积为 1 x 1xS??(e?e)dx----（3分）
0o 1 1x?(ex?e)?1。----（4分）
0图07-2 （2）平面图形D绕y轴旋转一周所生成 旋转体的体积为
Vy?2??xe?edx?2?e?xdx?2??xexdx
0001?x?11x2 ?2?e210?2??xdex??e?2?xex?2??exdx
000111 ??e?2?e?2?exe110??(e?2)。-----（7分）
ee11或Vy???(lny)2dy??(lny)2y???2lnydy ??e?2??lnydy??e?2?ylny1?2??dy
11eee ??e?2?e?2?(e?1)??(e?2)。 得评卷人 分 六、证明题（6分）
56.若f?(x)在[a,b]上连续，则存在两个常数m与M，对于
满足a?x1?x2?b的任意两点x1,x2，证明恒有
m(x2?x1)?f(x2)?f(x1)?M(x2?x1).
证明： 因f?(x)在[x1,x2]有意义，从而f(x)在[x1,x2]上连续且可导，即f(x)在[x1,x2]上满足拉格朗日中值定理的条件，-----（2分）
f(x2)?f(x1)?f?(?)，----（3分） 故存在??(x1,x2)，使得
x2?x1又因f?(x)在[a,b]上连续，根据连续函数在闭区间上最值定理知，f?(x)在[a,b]上既有最大值又有最小值，不妨设m,M分别是最小值和最大值，从而x?(a,b)时，有m?f?(x)?M。------（5分）
f(x2)?f(x1)?M， 即 m?x2?x1故 m(x2?x1)?f(x2)?f(x1)?M(x2?x1)。---（6分）
2008年河南省普通高等学校
选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试
高等数学 试卷
题号 分数
得分 评卷人 一 二 三 四 五 总分 核分人 一. 单项选择题（每题2分，共计60分）
在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内.不选、错选或多选者，该题不得分.
1. 函数f(x)?ln(1?x)?x?2的定义域为 （ ） A. [?2,?1] B. [?2,1] C. [?2,1) D. (?2,1)
?1?x?0??2?x?1?C. 解：?x?2?0?
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