中考数学考点过关专题训练：考点试题分类汇编（二）(8)

【解答】解：①如图1中，当AQ=PQ，∠QPB=90°时，设AQ=PQ=x， ∵PQ∥AC， ∴△BPQ∽△BCA， ∴∴∴x=∴AQ=

==， ． ， ，

②当AQ=PQ，∠PQB=90°时，设AQ=PQ=y． ∵△BQP∽△BCA， ∴∴∴y=

=

．

或

．

=

， ，

综上所述，满足条件的AQ的值为

12．（黔南州）如图，已知在△ABC中，BC边上的高AD与AC边上的高BE交于点F，且∠BAC=45°，BD=6，CD=4，则△ABC的面积为 60 ．

【分析】首先证明△AEF≌△BEC，推出AF=BC=10，设DF=x．由△ADC∽△BDF，推出方程求出x即可解决问题；

【解答】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠AEF=∠BEC=∠BDF=90°，

=，构建

∵∠BAC=45°， ∴AE=EB，

∵∠EAF+∠C=90°，∠CBE+∠C=90°， ∴∠EAF=∠CBE， ∴△AEF≌△BEC， ∴AF=BC=10，设DF=x． ∵△ADC∽△BDF， ∴∴

==， ，

整理得x2+10x﹣24=0， 解得x=2或﹣12（舍弃）， ∴AD=AF+DF=12， ∴S△ABC=

?BC?AD=

×10×12=60．

故答案为60．

13．（滨州）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE=则AF的长为

．

，∠EAF=45°，

【分析】取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，则NF=x，再利用矩形的性

质和已知条件证明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x的值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的长．

【解答】解：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x， ∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4， ∴NF=

x，AN=4﹣x，

∵AB=2， ∴AM=BM=1，

∵AE=，AB=2，

∴BE=1， ∴ME=

∵∠EAF=45°， ∴∠MAE+∠NAF=45°， ∵∠MAE+∠AEM=45°， ∴∠MEA=∠NAF， ∴△AME∽△FNA， ∴∴解得：x=∴AF=故答案为：

， ， ，

=．

．

=

，

14．（湘潭）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程为 x+3=（10﹣x）2 ．

2

2

【分析】设AC=x，可知AB=10﹣x，再根据勾股定理即可得出结论． 【解答】解：设AC=x， ∵AC+AB=10，

∴AB=10﹣x．

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∴AC2+BC2=AB2，即x2+32=（10﹣x）2． 故答案为：x+3=（10﹣x）．

15．（黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 20 cm（杯壁厚度不计）．

2

2

2

【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求． 【解答】解：如图：

将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′， 连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B=故答案为20．

三．解答题（共2小题）

16．（杭州）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD． （1）若∠A=28°，求∠ACD的度数．

=

=20（cm）．

（2）设BC=a，AC=b．

①线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2=0的一个根吗？说明理由． ②若AD=EC，求

的值．

【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠B，根据等腰三角形的性质求出∠BCD，计算即可； （2）①根据勾股定理求出AD，利用求根公式解方程，比较即可； ②根据勾股定理列出算式，计算即可． 【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=28°， ∴∠B=62°， ∵BD=BC，

∴∠BCD=∠BDC=59°， ∴∠ACD=90°﹣∠BCD=31°； （2）①由勾股定理得，AB=∴AD=

﹣a，

=

，

解方程x2+2ax﹣b2=0得，x==﹣a，

∴线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2=0的一个根； ②∵AD=AE， ∴AE=EC=

，

b+a）2，

由勾股定理得，a2+b2=（整理得，

=

．

17．（台湾）嘉嘉参加机器人设计活动，需操控机器人在5×5的方格棋盘上从A点行走至B点，且每个小方格皆为正方形，主办单位规定了三条行走路径R1，R2，R3，其行经位置如图与表所示：

路径 编号 图例 行径位置

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