统计学原理期末复习纲要(1-4)(5)

权数选择的原则：各组标志值 × 各组单位数 = 各组标志总量 （x） × （f ） = （x f ）

此等式必须有实际经济意义，（即三个量之间存在着客观的数量对等关系），各组单位数（f ）才是加权算术平均数的合适权数。即： 被平均的标志值（x）?分子数值?分母数值?各组标志总量（xf）各组单位数（f）?权数

如前例4-11计算工人平均工资时，被平均的标志值x（各组工资额）是绝对数。此时工人数为合适的权数（符合权数选择的原则）。

例4-14，某工业局所属企业产值计划完成％、企业数和计划产值资料如表4-7。 表4-7 产值计划完成程度（％） 90～100 100～110 110～120 合 计 企业数 5 8 2 — 计划产值（万元） 100 800 100 1000 试计算该工业局所属企业的平均产值计划完成程度。

解：此例被平均的标志值x（各组产值计划完成程度）是相对数。 本例以企业数（次数）为权数，不符合权数选择原则。 即：

各组产值计划完成％ × 企业数 = 各组标志总量 （x） × （f） = （x f）

95％ × 5 = 475%（无意义）

本例正确的权数（f）应为各组计划产值，它符合权数选择的原则。即： 各组产值计划完成程度(x)?各组实际产值(xf)各组计划产值(f)

各组产值计划完成％ × 各组计划产值 = 各组实际产值 （x） × （f） = （x f） 95% × 100（万元） = 95（万元）（等式有意义）

平均产值计划完成程度计算过程如表4-8。

表4-8 各组标志值 × 各组单位数 = 各组标志总量

产值计划完成程度（％） 企业数 组中值 x 计划产值（万元） 实际产值（万元） f x f - 21 -

90～100 100～110 110～120 合 计 5 8 2 — 95 105 115 — 100 800 100 1000 95 840 115 1050 平均产值计划完成程度为：x??xf?f?0.95?100?1.05?800?1.15?1001050??10500100?800?100

由此可得出以下结论：当被平均的标志值是绝对数或相对数或平均数时，要选择

构成其绝对数或相对数或平均数的分母数值作为各组单位数，即权数（f）；要选择构成其绝对数或相对数或平均数的分子数值作为各组标志总量（x f）。 （四）算术平均数的数学性质和特点 1、算术平均数的数学性质。

（1）各变量值与其平均数离差之和等于零。

（x?x）?0 ?（x?x）f?0?

（2）各变量值与其平均数离差的平方和是一个极小值。

2即：（x?x）?最小值?22或 ?（x?x）??（x?x0） 其 中:x?x0

（3）如果原变量与新变量之间的关系是：y = a + b x 其中 a 和 b 为常数，

则，

y?a?bx

2、算术平均数的特点。

算术平均数易受极端标志值（极大值或极小值）和开口组的影响。 调和平均数

调和平均数的概念。

调和平均数是分布数列中各单位标志值倒数的算术平均数的倒数，又称―倒数平均数‖。

设有三个标志值分别为：x1、x2、x3，则， 算术平均数为：x?x1?x2?x33

调和平均数为：13?111111????x1x2x3x1x2x33

2、调和平均数的计算方法。

根据所掌握资料的不同，调和平均数具体计算可分为简单调和平均数和加权调和平均数。

（1）简单调和平均数。其计算公式为： H? - 22 -

H?1111????x1x2xnn?n111????x1x2xn?n1?x

（2）加权调和平均数。其计算公式为：

H?1m1m2mn????x1x2xnm1?m2???mn?m1?m2???mn?m1m2mn????x1x2xn?mm?x

当 m1 = m2 = … = mn = A 时， 加权调和平均数H??mm?x?Ann?11A??xx简单调和平均数

（二）调和平均数的应用（作为算术平均数的变形形式来应用）

H?m1?m2???mn?m1m2mn????x1x2xn?m?mx

式中：H：加权调和平均数； x：各组标志值； m = x f：各组标志总量

例4-15，某企业工人各级别的工资额及相对应的工资总额资料如表4-11。 表4-11 工资额（元） 460 520 600 700 850 合 计 工资总额（元） 2300 7800 10800 7000 1700 29600 试计算工人平均工资。

解：该企业工人平均工资计算过程见表4-12。

表4-12 各组标志值 各组标志总量 各组单位数 工资额（元） x 460 520 600 700 850 合 计 工资总额（元） m=x f 2300 7800 10800 7000 1700 29600 工人数（人） f=m/x 5 15 18 10 2 50 - 23 -

?各组工人数(f)?各组工资总额(xf)各组工资额(x)

平均工资为：H?m1?m2???mn2300?7800?10800?7000?1700?m1m2mn230078001080070001700????????x1x2xn4605206007008502300?7800?10800?7000?17005?15?18?10?2?29600?592（元/人）50

?与前面按加权算术平均数计算的结果完全相同。即：

?xf460?5?520?15?600?18?700?10?850?2平均工资：x???592（元/人）f5?15?18?10?2?

（三）调和平均数和算术平均数关系

加权调和平均数m?xf?H???xmf??x加权算术平均数

从上述关系式可见：在 m = x f 的条件下，根据同一标志值（x）资料，采用加

权调和平均数计算平均指标与采用加权算术平均数计算平均指标的结果完全相同，因为两者均符合总体标志总量（∑x f ）与总体单位总量（∑f）的对比关系，所以，加权调和平均数是加权算术平均数的变形。

两者不同在于计算平均指标时应用的权数资料不同，加权算术平均数是以各组单位数（f）为权数，加权调和平均数是以各组标志总量（m= x f）为权数。

例4-16，某工业局所属企业的产值计划完成%、企业数和实际产值资料如表4-13。

表4-13

产值计划完成程度（％） 90～100 100～110 110～120 合 计 企业数 5 8 2 — 实际产值（万元） 95 840 115 1050 试计算该工业局所属企业的平均产值计划完成程度。 解：该企业工人平均工资计算过程见表4-14。

表4-14 各组标志值 各组标志总量 各组单位数 产值计划完成程度（％） 企业 数 组中值 x 实际产值（万元） m=x f 计划产值（万元）f=m/x - 24 -

90～100 100～110 110～120 合 计 5 8 2 — 95 105 115 — 95 840 115 1050 100 800 100 1000 各组产值计划完成%（x）?各组实际产值（各组标志总量xf?m）各组计划产值（各组单位数f）

平均产值计划完成程度为：H??m??mx95?840?11595?840?1151050???105?840115100?800?1001000??0.951.051.15

与前面按加权算术平均数计算的结果完全相同。即：

平均产值计划完成程度为：?xf0.95?100?1.05?800?1.15?1001050x????10500f100?800?100?

例4-17，某种蔬菜早、午、晚的价格及购买金额资料如表4-15。

表4-15 时 间 早 午 晚 合 计 价格（元/斤） 0.25 0.20 0.10 — 购买金额（元） 5 6 7 18 试计算该种蔬菜的平均购买价格。

解：该种蔬菜平均购买价格计算过程见表4-16。

表4-16 各组标志值 各组标志总量 各组单位数 时 间 早 午 晚 合 计 价格（元/斤） m=x f 0.25 0.20 0.10 — 购买金额（元） m=x f 5 6 7 8 蔬菜购买金额(xf)蔬菜购买量(f)

购买量（斤） f=m/x 20 30 70 120 蔬菜平均购买价格(x)? - 25 -

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