江苏省南京市高淳区江苏淮海中学、盐城中学、淳辉高中等97校2018

高三数学考试卷

数学Ⅰ试题 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页,包含填空题(共14题)、解答题(共6题),满分为160分,考试时间为120分钟。考试结束后,请将答题卡交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上。 3.作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置,在其它位置作答一律无效。如有作图需要,可用2B铅笔作答,并请加黑、加粗,描写清楚。 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.集合A={x|0≤x≤2},B={-1,2,3},则A∩B= ▲ .

2.若复数z满足z=i(2-i)(i是虚数单位),则复数z的模|z|= ▲ . 3.某市交通部门对某路段公路上行驶的汽车的速度实施监控,从速度在50~90 km/h的汽车中抽取200辆进行分析,得到数据的频率分布直方图(如图所示),则速度在70 km/h以下的汽车有 ▲ 辆.

4.如图,若输入的x值为16,则相应输出的值y为 ▲ .

第3题图 第4题图

5.已知变量x,y满足约束条件错误！未找到引用源。则x+y的最大值是 ▲ . 6.某校高三年级学生会主席团共由4名学生组成,其中有两名学生来自同一班级,另外两名学生来自另两个不同班级.现从中随机选出两名学生参加会议,则选出的两名学生来自不同班级的概率为 ▲ .

7.已知一个圆锥的母线长为2,侧面展开图是半圆,则该圆锥的体积为 ▲ .

8.已知双曲线错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是3x-4y=0,则该双曲线的离心率为 ▲ .

9.在等差数列{an}中,若a4=4,错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=96,则数列{an}的前10项和S10= ▲ .

10.将函数y=sin(2x+错误！未找到引用源。)的图象向右平移φ(0<φ<错误！未找到引用源。)个单位后,所得的函数图象关于原点成中心对称,则φ= ▲ .

11.已知函数f(x)=错误！未找到引用源。在区间(0,+∞)上有且只有三个不同的零点,则实数m的取值范围是 ▲ .

12.如图,已知点O是平面四边形ABCD的外接圆的圆心,AB=2,BC=6,AD=CD=4,则错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。= ▲ .

22

13.在平面直角坐标系xOy中,已知AB是圆O:x+y=1的直径,若直线l:kx-y-3k+1=0上存在点P,连接AP与圆O交于点Q,满足BP∥OQ,则实数k的取值范围是 ▲ .

2

14.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2c+ab≥kbc,则实数k的最大值是 ▲ . 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(14分)

在三棱锥P-ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,且PA=PB,∠PDC为锐角. (1)证明:BC∥平面PDE;

(2)若平面PCD⊥平面ABC,证明:AB⊥PC.

16.(14分)

在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin Bsin(B+错误！未找到引用源。)=错误！未找到引用源。. (1)求B;

(2)求sin A+sin C的取值范围.

17.(14分)

在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=1(a>b>0)的离心率为错误！未找到引用源。,且点(错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。)在椭圆C上.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设P为椭圆上第一象限内的点,点P关于原点O的对称点为A,点P关于x轴的对称点为Q,设错误！未找到引用源。=λ错误！未找到引用源。,直线AD与椭圆C的另一个交点为B,若PA⊥PB,求实数λ的值.

18.(16分)

一块圆柱形木料的底面半径为6 cm,高为16 cm.要将这块木料加工成一只笔筒,在木料一端中间掏去一个小圆柱,使小圆柱与原木料同轴,并且掏取的圆柱体积是原木料体积的三分之一.设小圆柱底面半径为r,高为h,要求笔筒底面的厚度超过1 cm. (1)求r与h的关系,并指出r的取值范围;

(2)笔筒成形后进行后续加工,要求笔筒上底圆环面、桶内侧面、外表侧面都喷上油漆,其中

22

上底圆环面、外表侧面喷漆费用均为a(元/ cm),桶内侧面喷漆费用是2a(元/ cm),而筒内

2

底面铺贴金属薄片,其费用是7a(元/ cm)(其中a为正常数). ①将笔筒的后续加工费用y(元)表示为r的函数;

②求出当r取何值时,能使笔筒的后续加工费用y最小,并求出y的最小值.

19.(16分)

已知函数f(x)=x(ln x-ax)(a∈R). (1)当a=0时,求函数f(x)的最小值;

(2)若函数f(x)既有极大值又有极小值,求实数a的取值范围;

2

(3)设g(x)=ax-(a-1)x+a,若对任意的x∈(1,+∞),都有f(x)+g(x)>0,求整数a的最大值. 20.(16分)

已知数列{an}的首项a1≠0,其前n项和为Sn,且Sn=3an-2a1对任意正整数n都成立. (1)证明:数列{an}为等比数列;

(2)若a1=错误！未找到引用源。,设bn=错误！未找到引用源。,求数列{bn}的前n项和为Tn;

*k-1k-1

(3)若a1,ak(k≥3,k∈N)均为正整数,如果存在正整数q,使得a1≥q, ak≤(q+1),证

k-1

明:a1=2.

高三数学考试卷参考答案

1.{2} 2.错误！未找到引用源。 3.100 4.4 5.4 6.错误！未找到引用源。 7.错误！未找到引用源。π 8.错误！未找到引用源。 9.70 10.错误！未找到引用源。 11.(错误！未找到引用源。,2] 12.-4 13.(-错误！未找到引用源。,+∞) 14.2错误！未找到引用源。-1

15.证明:(1)因为D,E分别为AB,AC的中点,

所以DE∥BC. ............................................................................. 2分 又DE?平面PDE,BC?平面PDE,

所以BC∥平面PDE. ........................................................................ 5分 (2)过点P作PO⊥CD,垂足为O. 又平面PCD⊥平面ABC,PO?平面PCD, 平面PCD∩平面ABC=CD,所以PO⊥平面ABC.

又因为AB?平面ABC,所以AB⊥PO. ........................................................... 9分 因为PA=PB,D为AB的中点,所以AB⊥PD. ..................................................... 11分 又∠PDC为锐角,一定有PO∩PD=P,PO,PD?平面PCD,所以AB⊥平面PCD. 又PC?平面PCD,

所以AB⊥PC. ............................................................................ 14分 16.解:(1)由sin Bsin(B+错误！未找到引用源。)=错误！未找到引用源。,可得sin B(sin Bcos错误！未找到引用源。+cos Bsin错误！未找到引用源。)=错误！未找到引用源。,

即错误！未找到引用源。sinB+错误！未找到引用源。sin Bcos B=错误！未找到引用源。,故错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。sin 2B=错误！未找到引用源。,整理得sin(2B-错误！未找到引用源。)=1. ......................................................................................... 3分 又B为三角形的内角,即B∈(0,π),于是2B-错误！未找到引用源。∈(-错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。),

所以2B-错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,从而B=错误！未找到引用源。. ............. 6分 (2)sin A+sin C=sin A+sin(π-(A+B))=sin A+sin(错误！未找到引用源。-A)

2

=sin A+sin错误！未找到引用源。cos A-cos错误！未找到引用源。sin A=错误！未找到引用源。cos A+错误！未找到引用源。sin A=错误！未找到引用源。sin(A+错误！未找到引用源。)................ 10分 因为A为三角形的内角,且B=错误！未找到引用源。,

于是A∈(0,错误！未找到引用源。),故A+错误！未找到引用源。∈(错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。),所以sin(A+错误！未找到引用源。)∈(错误！未找到引用源。,1].

所以sin A+sin C=错误！未找到引用源。sin(A+错误！未找到引用源。)∈(错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。].

即sin A+sin C的取值范围是(错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。]. ................... 14分 17.解:(1)因为点(错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。)在椭圆C上,则错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=1,

又椭圆C的离心率为错误！未找到引用源。,可得错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,即c=错误！未找到引用源。a,

所以b=a-c=a-(错误！未找到引用源。a)=错误！未找到引用源。a,代入上式,可得错误！未找到引用源。

2

2

2

2

2

2

+错误！未找到引用源。=1,

解得a=4,故b=错误！未找到引用源。a=1.

2

2

2

所以椭圆C的方程为错误！未找到引用源。+y=1. .............................................. 6分

2

(2)设P(x0,y0),则A(-x0,-y0),Q(x0,-y0).

因为错误！未找到引用源。=λ错误！未找到引用源。,则(0,yD-y0)=λ(0,-2y0),故yD=(1-2λ)y0.

所以点D的坐标为(x0,(1-2λ)y0). ........................................................... 8分 设B(x1,y1),则kPB·kBA=错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=-错误！未找到引用源。. ..................................................... 11分 又kBA=kAD=错误！未找到引用源。=(1-λ)·错误！未找到引用源。, 故kPB=-错误！未找到引用源。=-错误！未找到引用源。. 又PA⊥PB,且kPA=错误！未找到引用源。,

所以kPBkPA=-1,即-错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。=-1,解得λ=错误！未找到引用源。. 所以λ=错误！未找到引用源。. ............................................................ 14分 18.解:(1)据题意,πrh=错误！未找到引用源。(π×6×16),所以rh=192,即h=错误！未找到引用源。.3分

2

2

2

因为16-h>1,故h<15,即错误！未找到引用源。<15,解得r>错误！未找到引用源。.

又0

2

2

2

整理可得,y=aπ(6r+4rh+228),

2

又h=错误！未找到引用源。,故y=aπ(6r+4r×错误！未找到引用源。+228)=6aπ(r+错误！未找到引用源。

22

+38).

所以y=6aπ(r+错误！未找到引用源。+38),定义域为(错误！未找到引用源。,6). ................. 10分

2

②由①可知,y=6aπ(r2+错误！未找到引用源。+38),x∈(错误！未找到引用源。,6).

所以y'=6aπ(2r-错误！未找到引用源。)=12aπ·错误！未找到引用源。, ....................... 12分 令y'=0,解得r=4,列表如下: (错误！未找r y' y 到引用源。,4) 4 0 极小值 (4,6) - ↘ + ↗ 故当r=4时,y取得极小值,即最小值为516aπ. ............................................... 15分 所以,当r=4时,笔筒的后续加工费用y最小,且y的最小值为516aπ. ............................ 16分 19.解:(1)当a=0时,f(x)=xln x,定义域为(0,+∞).

f'(x)=ln x+1,令f'(x)=0,可得x=错误！未找到引用源。. ...................................... 1分

列表:

(0,错误！未(错误！未找x f'(x) f(x) 找到引用源。) 0 极小值 到引用源。,+∞) - ↘ + ↗ 所以,函数f(x)的最小值为f(错误！未找到引用源。)=-错误！未找到引用源。. .................... 3分 (2)f(x)=x(ln x-ax),定义域为(0,+∞),f'(x)=ln x-2ax+1.

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