第六章 数理统计的基本概念
第一节 基本概念
1、总体、个体和样本
（1）总体与样本
总体 在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体）；而把总体中的每一个单元称为样品（或个体）。在以后的讨论中，我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。
例如单正态总体X，用
X~N(?,?2)
来表示
我们把从总体中抽取的部分样品x1,x2,?,xn称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。
为了使抽取的样本很好地反映总体地信息，最常用的方法是“简单随机抽样”： （1）代表性。即每一样品Xi与总体X同分布； （2）独立性。即样品抽取互相间不影响。
此时的样本是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。
注意：在泛指任一次抽取的结果时，（样本）；在具体的一次抽取之后，x1,x2,?,xn表示n个随机变量x1,x2,?,xn表示n个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。
例6．1：总体：100个球，60个红球，40个白球；样本：10个球。
（2）样本函数与统计量
设x1,x2,?,xn为总体的一个样本，称
??? （x1,x2,?,xn）
- 36 -
为样本函数，其中?为一个连续函数。如果?中不包含任何未知参数，则称?（x1,x2,?,xn）为一个统计量。
2、统计量
（1）常用统计量 样本均值
1nx??xi.
ni?1样本方差
1n2S?(x?x). ?in?1i?12（与概率论中的方差定义不同）
样本标准差
1nS?(xi?x)2. ?n?1i?11nkMk??xi,k?1,2,?.
ni?11n???(xi?x)k,k?2,3,?. Mkni?12样本k阶原点矩
样本k阶中心矩
1n2（二阶中心矩S*??(Xi?X)与概率论中的方差定义相同）
ni?1
例6．2：用测温仪对一物体的温度测量5次，其结果为（℃）：1250，1265，1245，1260，1275，求统计计量X，S和S的观察值x,,s2和s.
2
（2）统计量的期望和方差
E(X)??，D(X)??2n，
E(S2)??2，E(S*2)?2n?12?, n1n2其中S*??(Xi?X)，为二阶中心矩。
ni?1
3、三个抽样分布（χ、t、F分布）
（1）χ分布
- 37 -
2
2
设n个随机变量X1,X2,?,Xn相互独立，且服从标准正态分布，可以证明：它们的平方和
W??Xi2
i?1n的分布密度为
nu?1??1u2e2?n?n?f(u)??22??????2???0,22u?0,
u?0.我们称随机变量W服从自由度为n的?分布，记为W～?(n)，其中
?n????1?????x2e?xdx. ?2?0所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。
n?2 分布满足可加性：设
Yi??2(ni),
则
Z??Yi~?2(n1?n2???nk).
i?1k注意两个结果：E(χ)=n，D(χ)=2n
例6．3：设X1,X2,?,X10相互独立同N（0，2）分布，求常数a, b, c, d使
2
22
Y?aX12?b(X2?X3)2?c(X4?X5?X6)2?d(X7?X8?X9?X10)2
服从?分布，并求自由度m 。
（2）t分布
设X，Y是两个相互独立的随机变量，且
2X~N(0,1),Y~?2(n),
可以证明：函数
T?的概率密度为
XY/n
?n?1????t22????f(t)?1??nn??n??????2??????n?12
(???t???).
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我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T～t(n)。 注意两个结果：E(T)=0，D(T)=
（3）F分布
设X~?2(n1),Y~?2(n2)，且X与Y独立，可以证明：F?n(n>2) n?2X/n1的概率密度函数为 Y/n2?n1?n22??n1?n2?????n1?2?????f(y)???n1??n2???n2?????????2??2???0,???y?n12n1?12?n1??1?y??n2???,y?0,y?0.
我们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2的F分布，记为F～f(n1, n2).
正态分布?1??????，
t1??(n)??t?(n)， F1??(n1,n2)?1
F?(n2,n1)
2
例6．4：求证：若X ~ t(n)，则X~ F(1,n)。 注意以上三个分布的函数图像。
4、正态总体下统计量的分布和性质
注意一个定理：X与S独立。
（1）正态分布
设x1,x2,?,xn为来自正态总体N(?,?)的一个样本，则样本函数
22udefx???/n
~N(0,1).
（2）t-分布
设x1,x2,?,xn为来自正态总体N(?,?)的一个样本，则样本函数
2- 39 -
t其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。
（3）? 分布
2defx??S/n~t(n?1),
设x1,x2,?,xn为来自正态总体N(?,?2)的一个样本，则样本函数
w2def(n?1)S2?2~?2(n?1),
其中?2(n?1)表示自由度为n-1的?分布。
（4）F分布 设x1,x2,?,xn为来自正态总体N(?,?2)的一个样本，而y1,y2,?,yn为来自正态总体
2N(?,?2)的一个样本，则样本函数
F其中
defS12/?12S/?2222~F(n1?1,n2?1),
1n1S?(xi?x)2, ?n1?1i?1211n2S?(yi?y)2; ?n2?1i?122F(n1?1,n2?1)表示第一自由度为n1?1，第二自由度为n2?1的F分布。
第二节 练习题
1、统计量的性质
例6．5：设(X1,X2,?,Xn)为取自正态总体N(?,?2)的样本，令
1n，D（Y）。 Y??|Xi??|，试求E（Y）
ni?1例6．6：从正态总体N(3.4,6)中抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区间（1.4, 5.4）内的概率不小于0.95，问样本容量n至少应取多大？
22、统计量的分布
例6．7：设(X1,X2,?,Xn)是来自正态总体N(?,?)的简单随机样本，X是样本均值，记
21n S?(Xi?X)2, ?n?1i?121
1nS??(Xi?X)2,
ni?122- 40 -
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