2009新东方概率基础讲义(7)

例4．17：将10封信放入到9个信箱中去，设每封信落入各个信箱是等可能的，求有信的信箱数X的数学期望。 例4．18：一辆送客汽车，载有50位乘客从起点站开出，沿途有10个车站可以下车，若到达一个车站，没有乘客下车就不停车。设每位乘客在每一个车站下车是等可能的并且各旅客是否下车相互独立。设X表示停车的次数。试求E(X)和D(X)。

例4．19：设某一机器加工一种产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次，每次随机地抽取5件产品检验，如果发现多于1件次品，就要调整机器。求一天中调整机器次数的概率分布及数学期望。

例4．20：地铁到达一站时间为每个整点的第5分、25分、55分钟，设一乘客在早8点～9点之间随机到达，求侯车时间的数学期望。

2、二维随机变量及其函数的数字特征

例4．21：设X～N（1，2），Y～N（2，4）且X，Y相互独立，求Z=2X+Y-3的分布密度函数f(z)。

?21n)例4．22：设X1，X2，??，Xn为独立同分布的随机变量，均服从N(?,?)，证明X??Xi服从N(?,nni?12分布。

例4．23：设二维随机向量（X，Y）的联合分布密度函数

?2xe?(y?5)?f(x,y)???0,?则E（XY）=

。

0?x?1,y?5,

其他,y?1所围成的三角形区域，求X，2例4．24：设（X，Y）服从在A上的均匀分布，其中A为x轴，y轴及直线x?Y，XY的数学期望及方差。

例4．25：设随机变量X和Y的联合分布在以点（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求随机变量U=X+Y的方差。

例4．26：设X,Y是随机变量，均服从标准正态分布，相关系数?XY＝的值，使D(Z1)＝D(Z2)＝1且Z1和Z2不相关。

1，令Z1＝aX，Z2＝bX+cY，试确定a,b,c23、独立和不相关

例4．27：设随机变量X和Y的方差存在且不等于0，则D（X+Y）=D（X）+D（Y）是X和Y （ ）。

（A）不相关的充分条件，且不是必要条件； （B）独立的充分条件，但不是必要条件； （C）不相关的充分必要条件； （D）独立的充分必要条件。

例4．28：已知（X,Y）的联合分布律为 X\\Y -1 0 1 -1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8 试求（1）E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)；（2）Cov(X,Y)，?XY；（3）判断X,Y是否相关？是否独立？

22例4．29：已知随机变量X和Y分别服从正态分布N（1，3）和N（0，4），且X与Y的相关系数?XY??1，2设Z?XY?. 32- 31 -

（1）求Z的数学期望E（Z）和方差D（Z）；（2）求X与Z的相关系数?XY；（3）问X与Z是否相互独立？为什么？

例4．30：设A，B是二随机事件，随机变量

若A出现,?1, X????1,否则,

若B出现,?1, Y????1,否则.试证：“X,Y不相关”与“A,B独立”互为充分必要条件。

4、应用题

例4．31：设某产品每周需求量为Q，Q等可能地取1，2，3，4，5。生产每件产品的成本是3元，每件产品的售价为9元，没有售出的产品以每件1元的费用存入仓库。问生产者每周生产多少件产品可使利润的期望最大？ 例4．32：设某种商品每周的需求量X服从区间[10，30]上的均匀分布的随机变量，而经销商店进货数量为区间[10，30]中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500元；若供大于求则削价处理，每处理1单位商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每1单位商品仅获利300元，为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最少进货量。

第五章 大数定律和中心极限定理

第一节 基本概念

1、切比雪夫不等式

设随机变量X具有数学期望E（X）=μ，方差D（X）=σ，则对于任意正数ε，有下列切比雪夫不等式

2

?2P(X????)?2

?

切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率

P(X????)

的一种估计，它在理论上有重要意义。

例5．1：设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式估计P{X?E(X)?2}? 。

2、大数定律

（1）切比雪夫大数定律 （要求方差有界）

设随机变量X1，X2，?相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C所界：D（Xi）

?1n?1n?limP?X?E(X)???1. ??ii?n???nni?1?i?1?

特殊情形：若X1，X2，?具有相同的数学期望E（XI）=μ，则上式成为

?1n??limP?X?????i??1. n???n?i?1?或者简写成：

limPX?????1.

n????- 32 -

切比雪夫大数定律指出，n个相互独立，且具有有限的相同的数学期望与方差的随机变量，当n很大时，它们的算术平均以很大的概率接近它们的数学期望。

例5．2：设{Xk}为相互独立的随机变量序列，且

?k??2Xk~???1??22k?101?122k2k???,k?1,2,?, ?1?22k?1??试证{Xk}服从切比雪夫大数定律。

（2）伯努利大数定律

设μ是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数ε，有

????limP??p????1. n???n??

伯努利大数定律说明，当试验次数n很大时，事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即

????limP??p????0. n???n??这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。

（3）辛钦大数定律 （不要求存在方差）

设X1，X2，?，Xn，?是相互独立同分布的随机变量序列，且E（Xn）=μ，则对于任意的正数ε有

?1n??limP?X?????i??1. n???n?i?1?

3、中心极限定理

（1）列维－林德伯格定理

设随机变量X1，X2，?相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：

E(Xk)??,D(Xk)??2?0(k?1,2,?)，则随机变量

Yn?的分布函数Fn(x)对任意的实数x，有

?Xk?1nk?n?

n??n?X?n??k??1?k?1?limFn(x)?limP??x??n??n??n?2???????或者简写成：

?x??e?t22dt.

X???/n????N(0,1) n??- 33 -

此定理也称为独立同分布的中心极限定理。

（2）棣莫弗－拉普拉斯定理

设随机变量X1，?Xn均为具有参数n, p(0

??1?Xn?np??limP??x??n??2????np(1?p)??x??e?t22dt.

例5．3：某车间有200台车床，在生产时间内由于需要检修、调换刀具、变换位置、调换工件等常需停车。设开工率为0.6，并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1Kw，问应供应该车间多少瓦电力，才能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产。

4、二项定理和泊松定理

（1）二项定理

若当N??时,M?p(n,k不变)，则 NKn?kCMCN?MCNNk?CnPk(1?p)n?k

(N??).

可见，超几何分布的极限分布为二项分布。

例5．4：两只一模一样的铁罐里都装有大量的红球和黑球，其中一罐（取名“甲罐”）内的红球数与黑球数之比为2：1，另一罐（取名“乙罐”）内的黑球数与红球数之比为2：1 。今任取一罐并从中取出50只球，查得其中有30只红球和20只黑球，则该罐为“甲罐”的概率是该罐为“乙罐”的概率的 (A) 154倍 (B)254倍 (C)798倍 (D)1024倍

（2）泊松定理

若当n??时,np???0，则

CP(1?p)knkn?k??kk!e??

(n??).

其中k=0，1，2，?，n，?。

例5．5：某人进行射击，设每次射击的命中率为0.001，若独立地射击5000次，试求射中的次数不少于两次的概率，用泊松分布来近似计算。

第二节 练习题

1、切比雪夫不等式

例5．6：利用切比雪夫不等式估计随机变量与其数学期望之差大于2倍标准差的概率。

2、大数定律

例5．7：设X1，X2，?，Xn，?是相互独立的随机变量序列，Xn服从参数为n的指数分布（n=1,2, ?），则下列中不服从切比雪夫大数定律的随机变量序列是：

22

（A）X1，X2，?，Xn，?； （B）X1，2X2，?，nXn，? （C）X1，X2/2，?，Xn/n，?； （D）X1，2X2，?，nXn，?

- 34 -

3、中心极限定理

例5．8：设X1，X2，?为独立同分布序列，且Xi(i=1,2,?)服从参数为λ的指数分布，则

?n??X?n?i???i?1?（A）limP??x???(x).

n??n???????n?X???i???i?1?（C）limP??x???(x).

n??n???????[

]

?n?X?n?i???i?1?（B）limP??x???(x).

n??n???????n?X???i???i?1?（D）limP??x???(x).

n??n???????其中?(x)?

?x??.12?e?t22dt.

22

例5．9：设X1，X2，?，Xn，?是相互独立的随机变量序列，在下面条件下，X12，X2，?，Xn，?满足列

维－林德伯格中心极限定理的是： （A）P{Xi?m}?pmq1?m,m?0,1； （B）P{Xi?x}?1dt； ?2???(1?t)?1xc??1?（C）P{Xi?m}?2,m?1,2,?，常数c???2?m?m?1m?（D）Xi服从参数为i的指数分布。

?6?2；

例5．10：设随机变量X1，X2，?Xn相互独立，Sn=X1+X2+?+Xn，则根据列维-林德伯格中心极限定理，当n充分大时，Sn近似服从正态分布，只要X1，X2，?，Xn

（A）有相同的数学期望。 （B）有相同的方差。

（C）服从同一指数分布。 （D）服从同一离散型分布。 [ ]

例5．11：（1）一个复杂系统由100个相互独立的元件组成，在系统运行期间每个元件损坏的概率为0.10 ，又知为使系统正常运行，至少必须有85个元件工作，求系统的可靠度（即正常运行的概率）；（2）上述系统假如由n个相互独立的元件组成，而且又要求至少有80%的元件工作才能使整个系统正常运行，问n至少为多大时才能保证系统的可靠度为0.95？

例5．12：计算机做加法运算时，要对每个加数取整。设所有的取整误差相互独立，并且均服从U[-0.5，0.5]。如果将1500个数相加，求误差总和的绝对值超过15的概率。

例5．13：设有1000个人独立行动，每个人能够按时进行掩蔽体的概率为0.9，以95%概率估计，在一次行动中 （1）至少有多少人能够进入？ （2）至多有多少人能够进入？

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