2009新东方概率基础讲义(5)

图3.3

例3．4： 设二维连续型随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，其中

D?{(x,y):|x?y|?1,|x?y|?1},

求X的边缘密度fX(x) 画线观察积分上下限。

②正态分布

设随机向量（X，Y）的分布密度函数为

f(x,y)?12??1?21??2e??x???22?(x??)(y??)?y??1?122?????????1??1?22(1??2)??2????1????2????,

其中?1,?2,?1?0,?2?0,|?|?1，共5个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布，

22记为（X，Y）～N（?1,?2,?1,?2,?).

由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，反推则错。

22即X～N（?1,?1),Y~N(?2,?2).

（5）二维随机向量联合分布函数及其性质

设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数

F(x,y)?P{X?x,Y?y}

称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。

分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件{(?1,?2)|???X(?1)?x,???Y(?2)?y}的概率为函数

值的一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质： （1）0?F(x,y)?1;

（2）F（x,y）分别对x和y是非减的，即

当x2>x1时，有F（x2,y）?F(x1,y);当y2>y1时，有F(x,y2) ?F(x,y1); （3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即

F(x,y)?F(x?0,y),F(x,y)?F(x,y?0);

（4）F(??,??)?F(??,y)?F(x,??)?0,F(??,??)?1.

2、随机变量的独立性

（1）一般型随机变量 F(X,Y)=FX(x)FY(y)

（2）离散型随机变量

pij?pi?p?j

- 21 -

例3．5：二维随机向量（X，Y）共有六个取正概率的点，它们是：（1，-1），（2，-1），（2，0），2，2），（3，1），（3，2），并且（X，Y）取得它们的概率相同，则（X，Y）的联合分布及边缘分布为 Y X 1 2 3 p2j -1 0 0 1 0 0 2 0 p12 1 61 60 1 60 1 31 61 61 61 61 61 31 61 21 31

（3）连续型随机变量 f(x,y)=fX(x)fY(y)

联合分布→边缘分布→f(x,y)=fX(x)fY(y)

直接判断，充要条件： ①可分离变量

②正概率密度区间为矩形

33

例3．6：如图3.1，f(x,y)=8xy, fX(x)=4x, fY(y)=4y-4y，不独立。

?Axy2,0?x?2,0?y?1例3．7：f(x,y)=?

0,其他?

（4）二维正态分布

f(x,y)?12??1?21??2e??x???22?(x??)(y??)?y??1?122????????????2(1??2)??122???1?1????2????,

ρ=0

（5）随机变量函数的独立性

若X与Y独立，h,g为连续函数，则：h（X）和g（Y）独立。 例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。

3、简单函数的分布

两个随机变量的和Z=X+Y ①离散型：

例3．8：设（X，Y）的联合分布为 X Y 0 1 2 - 22 -

0 1 121 31 61 61 121 61

求(i)Z1=X+Y; (ii)Z2=X-Y; (iii) Z3=XY的分布列。

②连续型

??fZ(z)＝

???f(x,z?x)dx

22两个独立的正态分布的和仍为正态分布（?1??2,?1）。 ??2

例3．9：设X和Y是两个相互独立的随机变量，且X～U（0，1），Y～e（1），求Z=X+Y的分布密度函数fz(z)。

③混合型

例3．10：设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为

?1X~????0.32??, ?0.7??而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u)。

第二节 练习题

1、二维随机变量联合分布函数

例3．11：如下四个二元函数，哪个不能作为二维随机变量（X，Y）的分布函数？

?(1?e?x)(1?e?y),?（A）F1(x,y)???0,?（B）F2(x,y)?0?x???,0?y???,

其他.y?1??x????arctan?arctan??. ??22223?????x?2y?1,

?1,?（C）F3(x,y)???0,?x?2y?1.?1?2?x?2?y?2?x?y,?（D）F4(x,y)???0,?0?x???,0?y???,

[ ]

其他.例3．12：设某班车起点站上车人数X服从参数为?(??0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(0

- 23 -

并且他们在中途下车与否是相互独立的，用Y表示在中途下车的人数，求： （1） 在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率； （2） 二维随机向量（X，Y）的概率分布。

例3．13：一射手进行射击，击中目标的概率为p（0

22

例3．14：设（X,Y）只在曲线y=x与x=y所围成的区域D中不为零且服从均匀分布，试求： （1）（X,Y）的联合密度；（2）边缘密度?X(x),?Y(y)；（3）P（Y?X） 例3．15：设随机变量（X，Y）的概率密度为

?1,??(x,y)???0,?试求： （1）条件概率密度?(x|y),?(y|x)；

|y|?x,0?x?1,

其他.

（2）P(X?1Y?0). 2例3．16：设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布，在X?x(0?x?1)的条件下，随机变量Y在区间(0,x)上服从均匀分布，求

(Ⅰ) 随机变量X和Y的联合概率密度； (Ⅱ) Y的概率密度； (Ⅲ) 概率P{X?Y?1}．

2、随机变量的独立性

例3．17：设（X，Y）的联合分布密度为

?C(x?y),?f(x,y)???0,?（1） （2） （3） （4）

0?y?x?1,

其他.求C；

求X，Y的边缘分布； 讨论X与Y的独立性； 计算P（X+Y?1）。

?e?y?例3．18：设（X，Y）的密度函数为?(x,y)???0,?x?0,y?x,

其他.试求： （1）X，Y的边缘密度函数，并判别其独立性； （2）（X，Y）的条件分布密度； （3）P（X>2|Y<4）。

3、简单函数的分布

例3．19：设两个独立的随机变量X与Y的分布律为

- 24 - XPi10.33 ， YPj20.64

0.70.4

求随机变量（1）Z=X+Y；（2）Z=XY；（3）Z=max（X，Y）的分布律。

例3．20：设两个相互独立的随机变量X与Y分别服从N（0，1）和N（1，1），求P（X+Y?1），（或选择题为）

1; 21（C）P(X?Y?0)?;

2（A）P(X?Y?0)?

1; 21（D）P(X?Y?1)?;

2（B）P(X?Y?1)?例3．21：设随机变量（X，Y）的分布密度为

?3x??(x,y)???0,?试求

Z=X-Y的分布密度。

0?x?1,0?y?x,

其他.X的分布密度与分布函数。 Y例3．22：设X与Y相互独立，且都服从（0,a）上的均匀分布，试求Z?

第四章 随机变量的数字特征

第一节 基本概念

1、一维随机变量的数字特征

（1）一维随机变量及其函数的期望

①设X是离散型随机变量，其分布律为P(X?xk)＝pk，k=1,2,?,n，

E(X)??xkpk

k?1n期望就是平均值。

例4．1：100个考生，100分10人，90分20人，80分40人，70分20人，60分10人，求期望。

例4．2：设某长生产的某种产品不合格率为10％，假设生产一件不合格品要亏损2元；每生产一件合格品获利10元。求每件产品的平均利润。

②设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x)，

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