天津市因动点产生的相似三角形问题压轴题培优二次函数(2)

所以C、Q、B三点共线．因此

BOQA，即b?QA．解得QA?4．此时Q(1,4)． ?bCOOA14

图4 图5

考点伸展

第（3）题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是x轴正半轴上待定的点，而∠QOA与∠QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况．

这样，先根据△QOA与△QOC相似把点Q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B的位置．

如图中，圆与直线x＝1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢？

如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与OB＝4OC矛盾．

例4 黄冈市中考模拟第25题

如图1，已知抛物线的方程C1：y??1(x?2)(x?m) (m＞0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点mB在点C的左侧．

（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值； （2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；

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（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标； （4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

图1

思路点拨

1．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．

2．第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线BF，作∠CBF＝∠EBC＝45°，或者作BF//EC．再用含m的式子表示点F的坐标．然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于m的方程．

满分解答

11(x?2)(x?m)，得2???4(2?m)．解得m＝4． mm111（2）当m＝4时，y??(x?2)(x?4)??x2?x?2．所以C(4, 0)，E(0, 2)．

44211所以S△BCE＝BC?OE??6?2?6．

22（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．

HPEO设对称轴与x轴的交点为P，那么． ?CPCOHP233因此?．解得HP?．所以点H的坐标为(1,)．

3422（4）①如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′．

CEBC由于∠BCE＝∠FBC，所以当，即BC2?CE?BF时，△BCE∽△FBC． ?CBBF（1）将M(2, 2)代入y??1(x?2)(x?m)21FF'EOm设点F的坐标为(x,?(x?2)(x?m))，由，得?． ?x?2mmBF'CO解得x＝m＋2．所以F′(m＋2, 0)．

COBF'(m?4)m2?4mm?4由，得．所以BF?． ??2mCEBFBFm?4(m?4)m2?4由BC?CE?BF，得(m?2)?m?4?．

m222整理，得0＝16．此方程无解．

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图2 图3 图4

②如图4，作∠CBF＝45°交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′，

由于∠EBC＝∠CBF，所以

BEBCBC?BF，即BC2?BE?BF时，△BCE∽△BFC． 在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得1m(x?2)(x?m)?x?2．

解得x＝2m．所以F′(2m,0)．所以BF′＝2m＋2，BF?2(2m?2)． 由BC2?BE?BF，得(m?2)2?22?2(2m?2)．解得m?2?22． 综合①、②，符合题意的m为2?22．

考点伸展

第（4）题也可以这样求BF的长：在求得点F′、F的坐标后，根据两点间的距离公式求BF的长．

例5 天津市中考第24题

如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．

（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；

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（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；

（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

图1 图2

思路点拨

1．第（2）题用含S的代数式表示x2－x1，我们反其道而行之，用x1，x2表示S．再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y2－y1＝3．通过代数变形就可以了．

2．第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证．

3．第（3）题的示意图，不变的关系是：直线AB与x轴的夹角不变，直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变．变化的直线PQ的斜率，因此假设直线PQ与AB的交点G在x轴的下方，或者假设交点G在x轴的上方．

满分解答

（1）抛物线的对称轴为直线x?1，解析式为y?（2） 梯形O1A1B1C1的面积S?于y2?y1?3，所以y2?y1?此得到x2?x1?1211x?x，顶点为M（1，?）． 8482(x1?1?x2?1)??s?3(x1?x2)?6，由此得到x1?x2??2．由

23121111??1x2?x2?x12?x1?3．整理，得(x2?x1)?(x2?x1)???3．因84844??872． S当S=36时，??x2?x1?14,?x1?6, 解得? 此时点A1的坐标为（6，3）．

?x2?x1?2.?x2?8.（3）设直线AB与PQ交于点G，直线AB与抛物线的对称轴交于点E，直线PQ与x轴交于点F，那

么要探求相似的△GAF与△GQE，有一个公共角∠G．

在△GEQ中，∠GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角，为定值．

在△GAF中，∠GAF是直线AB与x轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ≠∠GAF．

因此只存在∠GQE＝∠GAF的可能，△GQE∽△GAF．这时∠GAF＝∠GQE＝∠PQD．

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由于tan?GAF?

33t20DQt，tan?PQD?，所以?．解得t?． ?445?t7QP5?t

图3 图4

考点伸展

第（3）题是否存在点G在x轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t的值也是相同的．事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3．

例6 临沂市中考第26题

如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．

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