天津市因动点产生的相似三角形问题压轴题培优二次函数

因动点产生的相似三角形问题

例1 天津中考模拟第24题

如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2, m)． （1）求k与m的值；

（2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；

（3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．

图1

思路点拨

1．直线AD//BC，与坐标轴的夹角为45°． 2．求△ABC的面积，一般用割补法．

3．讨论△ACE与△ACD相似，先寻找一组等角，再根据对应边成比例分两种情况列方程．

满分解答

（1）将点A(2, m)代入y＝x＋2，得m＝4．所以点A的坐标为(2, 4)．

k，得k＝8． x8（2）将点B(n, 2)，代入y?，得n＝4．

x将点A(2, 4)代入y?所以点B的坐标为(4, 2)．

设直线BC为y＝x＋b，代入点B(4, 2)，得b＝－2． 所以点C的坐标为(0,－2)．

由A(2, 4) 、B(4, 2) 、C (0,－2)，可知A、B两点间的水平距离和竖直距离都是2，B、C两点间的水平距离和竖直距离都是4．

所以AB＝22，BC＝42，∠ABC＝90°． 图2 所以S△ABC＝

11BA?BC＝?22?42＝8． 22（3）由A(2, 4) 、D(0, 2) 、C (0,－2)，得AD＝22，AC＝210． 由于∠DAC＋∠ACD＝45°，∠ACE＋∠ACD＝45°，所以∠DAC＝∠ACE． 所以△ACE与△ACD相似，分两种情况：

1

①如图3，当

CEAD时，CE＝AD＝22． ?CAAC此时△ACD≌△CAE，相似比为1． ②如图4，当

CEACCE210时，．解得CE＝102．此时C、E两点间的水平距离和竖直??CAAD21022距离都是10，所以E(10, 8)．

图3 图4

考点伸展

第（2）题我们在计算△ABC的面积时，恰好△ABC是直角三角形． 一般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补法． 如图5，作△ABC的外接矩形HCNM，MN//y轴．

由S矩形HCNM＝24，S△AHC＝6，S△AMB＝2，S△BCN＝8，得S△ABC＝8．

图5

2

例2 天津市中考第24题

如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．

（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；

（2）如图2，连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值； （3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．

图1 图2

思路点拨

1．△BPQ与△ABC有公共角，按照夹角相等，对应边成比例，分两种情况列方程． 2．作PD⊥BC于D，动点P、Q的速度，暗含了BD＝CQ．

3．PQ的中点H在哪条中位线上？画两个不同时刻P、Q、H的位置，一目了然．

满分解答

（1）Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10． △BPQ与△ABC相似，存在两种情况：

① 如果BPBA5tBQ?BC，那么8?4t?108．解得t＝1． ② 如果

BPBQ?BCBA，那么5t8?4t?810．解得t?3241．

图3 图4

（2）作PD⊥BC，垂足为D． 在Rt△BPD中，BP＝5t，cosB＝

45，所以BD＝BPcosB＝4t，PD＝3t． 当AQ⊥CP时，△ACQ∽△CDP．

所以ACCD68?4QC?PD，即4t?t3t．解得t?78． 3

图5 图6

（3）如图6，过PQ的中点H作BC的垂线，垂足为F，交AB于E． 由于H是PQ的中点，HF//PD，所以F是QD的中点． 又因为BD＝CQ＝4t，所以BF＝CF． 因此F是BC的中点，E是AB的中点．

所以PQ的中点H在△ABC的中位线EF上．

考点伸展

本题情景下，如果以PQ为直径的⊙H与△ABC的边相切，求t的值．

BPBC32?如图7，当⊙H与AB相切时，QP⊥AB，就是，t?． BQBA41如图8，当⊙H与BC相切时，PQ⊥BC，就是

BPBA?，t＝1． BQBC如图9，当⊙H与AC相切时，直径PQ?PD2?QD2?(3t)2?(8?8t)2， 半径等于FC＝4．所以(3t)2?(8?8t)2?8．

解得t?128，或t＝0（如图10，但是与已知0＜t＜2矛盾）． 73

图7 图 8 图9 图10

例3 天津市中考第29题

121bx?(b?1)x?（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点444A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C．

（1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）；

（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为

如图1，已知抛物线y?

4

直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

图1

思路点拨

1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等．

2．联结OP，把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示．

3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上．

满分解答

b)． 4（2）如图2，过点P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，那么△PDB≌△PEC． 因此PD＝PE．设点P的坐标为(x, x)． 如图3，联结OP．

1b15所以S四边形PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝??x??b?x?bx＝2b．

2428161616解得x?．所以点P的坐标为(,)．

555（1）B的坐标为(b, 0)，点C的坐标为(0,

图2 图3

121b1x?(b?1)x??(x?1)(x?b)，得A(1, 0)，OA＝1． 4444①如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA． BAQA当，即QA2?BA?OA时，△BQA∽△QOA． ?QAOA（3）由y?b所以()2?b?1．解得b?8?43．所以符合题意的点Q为(1,2?3)．

4②如图5，以OC为直径的圆与直线x＝1交于点Q，那么∠OQC＝90°。 因此△OCQ∽△QOA． BAQA当时，△BQA∽△QOA．此时∠OQB＝90°． ?QAOA

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