2010长宁高三高考二模理科数学

2010年长宁区高三数学质量检测试卷（

一、填空题（本大题满分56分，本大题共有14题，只要求直接填写结果，每

个空格填对得4分，否则一律得零分）

i1、设i为虚数单位，则复数?_________

1?ix2、若函数f(x)?a(a?0,a?1)的反函数的图像过点(2,?1)，则a?_______

?3、若向量a,b的夹角为 ，|a|?|b|?1，则a?(a?b)?________

34、执行右边的程序框图，若p?9，则输出的S?_______ 学科网

x?125、函数f(x)?图像的顶点是(b,c)，且a,b,c,d成

?xx?3等比数列，则ad?_______

36、已知(x?3)n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，

x则n?_________

7、函数f(x)?2sin2x?6cosx?3的最大值为_______

8、在?ABC中，?A?600，AB?5,且S??53，则BC的长为_______.

9、在等差数列{an}中，满足3a4=7a7，且a1>0，Sn是数列{an}前n项的和，若Sn

取得最大值，则n= .

10、已知圆的极坐标方程为??cos??sin?，则该圆的面积为_________

x2y2??1(b?0)的左、右焦点分别为F1,F2，其一条渐近线方11、已知双曲线

2b2程为y?x，点P(3,y0)在该双曲线上，则PF1?PF2?________

12、棱长为a的正方体ABCD?A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E、F分别是棱AA1、DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长是__________.学 13、根据统计资料，在A小镇当某件讯息发布后，t小时之内听到该讯息的人口是全镇人

?kt口的100(1?2)﹪，其中k是某个大于0的常数，今有某讯息，假设在发布后3小时之内已经有70﹪的人口听到该讯息。又设最快要T小时后，有99﹪的人口已听到该讯息，则T=___________小时。（保留一位小数）

14、在平面直角坐标系中，定义点P(x1,y1),Q(x2,y2)之间的“直角距离”为

d(P,Q)?|x1?x2|?|y1?y2|。若C(x,y)到点A(1,3),B(6,9)的“直角距离”相等，其中实数x,y满足0?x?10,3?y?9，则所有满足条件的点C的轨迹的长度之和为__________

二、选择题（每小题4分，计16分）

15、不等式|2?x|?1的解集是 （ ）

A．[?3,?1] B．[1,3] C．[?3,1] D．[?1,3]

16、已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“???”是“m??”的 ( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

1

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

17、设斜率为2的直线l过抛物线y2?ax(a?0)的焦点F,且和y轴交于点A,若

△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为 ( ). A.y2??4x B.y2?4x C.y2??8x D. y2?8x

18、如果函数f(x)?|lg|2x?1||在定义域的某个子区间(k?1,k?1)上不存在反函

数，则k的取值范围是 （ ）

1313A.[?,2) B.(1,] C.[?1,2) D.(?1,?]?[,2)

2222

三、解答题（本大题共5题，计78分） 19、（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，

SD⊥平面ABCD,SD＝AD＝a,点E是线段SD上任意一点。

（1）求证：AC⊥BE；

（2）若二面角C-AE-D的大小为600，求线段ED的长。 20、（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（2）小题6分）

设数列?an?中，若an?1?an?an?2,(n?N?)，则称数列?an?为“凸数列”。 （1）设数列?an?为“凸数列”，若a1?1,a2??2，试写出该数列的前6项，并求出该6项之和；

（2）在“凸数列”?an?中，求证：an?6?an,n?N?； （3）设a1?a,a2?b，若数列?an?为“凸数列”，求数列前n项和Sn。

2

21、（本题满分16分，第（1）小题6分，第（2）小题10分）

为了让更多的人参与2010年在上海举办的“世博会”，上海某旅游公司面向国内外发行总量为2000万张的旅游优惠卡，其中向境外人士发行的是世博金卡（简称金卡），向境内人士发行的是世博银卡（简称银卡）。现有一个由

336名游客组成的旅游团到上海参观旅游，其中是境外游客，其余是境内游

412客。在境外游客中有持金卡，在境内游客中有持银卡。.

33（1）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概

率；

（2）在该团的境内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量?，

求?的分布列及数学期望E?。 22、（本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题8分，第（3）小题4分）

x2y2已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左右焦点分别为F1,F2，短轴两个端点为

abA,B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形。 （1）求椭圆方程；

（2）若C,D分别是椭圆长轴的左右端点，动点M满足MD?CD，连接CM，交椭圆于点P。证明：OM?OP为定值；

（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存在异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP,MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

??3

23、（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）

在平行四边形OABC中，已知过点C的直线与线段OA,OB分别相交于点

M,N。若OM?xOA,ON?yOB。

x（1）求证：x与y的关系为y?；

x?11x（2）设f(x)?，定义函数F(x)??1(0?x?1)，点列

f(x)x?1Pi(xi,F(xi))i?(1,2,?,n,n?2)在函数F(x)的图像上，且数列?xn?是以首项为1，

1公比为的等比数列，O为原点，令OP?OP1?OP2???OPn，是否存在点

2 Q(1,m)，使OP?OQ？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由。

（3）设函数G(x)为R上偶函数，当x?[0,1]时G(x)?f(x)，又函数G(x)图象关

1于直线x?1对称， 当方程G(x)?ax?在x?[2k,2k?2](k?N)上有两个不同的

2实数解时，求实数a的取值范围。

4

2010年长宁区高三数学模拟卷答案（理）

一、填空题

题号 答案 题号 答案 21 1 11?i222 1 23 1 22 54 5 14 6 6 7 9 ?8 9 9 10 11 0 12 13 11.5 14 ? 22a5(2?1) 二、选择题

题号 答案 15 16 17 18 B B C D 三、解答题

19、解：（1）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系。

D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0) 。设DE?t,

则E(0,0,t) ????????????????2分

??AC?(?a,a,0),BE?(?a,?a,t)，

???????????????????4分

?AC?BE?a2?a2?0?0,?AC?BE。

??????????????????????6分

（2）取平面ADE的一个法向量为n1?(0,1,0)。????????????7分 设平面ACE的一个法向量为n2?(x,y,z)，AE?(?a,0,t)，由AE?n2?0,AC?n2?0得

???????????ax?tz?0， ??ax?ay?0?

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