人教版高中数学《不等式》全部教案 2(5)

即：(2cos??1)2?0 （成立）

2． 已知a > b > 0，?为锐角，求证：asec??btan??a2?b2

略证：只需证：(asec??btan?)2?a2?b2

即：（成立） a2tan2??b2sec?2?2abtan?sec??(atan??bsec?)2?03． 设a, b, c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：

c2?a2?b2?4ab?43S

略证：正弦、余弦定理代入得：?2abcosC?4ab?23absinC

即证：2?cosC?23sinC 即：3sinC?cosC?2

?即证：sin(C?)?1（成立）

6第九教时

教材：不等式证明四（换元法）

目的：增强学生“换元”思想，能较熟练地利用换元手段解决某些不等式证明问

题。

过程：

四、提出课题：（换元法） 五、 三角换元：

11例一、求证：??x1?x2?

22证一：（综合法）

?x2?(1?x2)?12222∵|x1?x|?|x|1?x?x(1?x)?? ??22??111即：|x1?x2|? ∴??x1?x2?

222证二：（换元法） ∵?1?x?1 ∴令 x = cos? , ??[0, ?]

1则x1?x2?cos?sin??sin2?

211∵?1?sin??1 ∴??x1?x2?

22例二、已知x > 0 , y > 0，2x + y = 1，求证：

11??3?22 xy2

?11?112xy?证一：? 即：??3?22 ?(2x?y)?3???3?22?xy?xyyx??证二：由x > 0 , y > 0，2x + y = 1，可设x? 则

12sin?,2y?cos2?

112122????2(1?cot?)?(1?tan?) 22xysin?cos??3?(2cot2??tan2?)?3?22

例三：若x2?y2?1，求证：|x2?2xy?y2|?2 证：设x?rsin?,y?rcos?,(0?r?1)，

则|x2?2xy?y2|?|r2cos2??2r2cos?sin??r2sin2?|

????r2|cos2??sin2?|?2r2cos?2????2r2?2

4??例四：若x > 1，y > 1，求证：xy?1?(x?1)(y?1) 证：设x?sec2?,?y?sec2?,(0??,??)

2 则1?(x?1)(y?1)?1?tan?tan??cos(???)1??xy

cos?cos?cos?cos?例五：已知：a > 1, b > 0 , a ? b = 1，求证：0?1?1??1??a???b??????1 a?a??b?? 证：∵a > 1, b > 0 , a ? b = 1 ∴不妨设

?a?sec2?,b?tan2?,(0???)

21?1??1?1?1??1? 则?a???b???sec??tan?????? ???sec2?a?sec?tan?a??b??????21ta2n?sec???sin? ?2?tan?sec?sec ∵0????1?1??1?, ∴0 < sin? < 1 ∴0??a???b??????1 2a?a??b??小结：若0≤x≤1，则可令x = sin? (0??????)或x = sin2? (????)。 222若x2?y2?1，则可令x = cos? , y = sin? (0???2?)。

若x2?y2?1，则可令x = sec?, y = tan? (0???2?)。

?)。 2??若x?R，则可令x = tan? (????)。

22六、代数换元：

若x≥1，则可令x = sec? (0???例六：证明：若a > 0，则a2?11?2?a??2 2aa1 证：设x?a?,ay?a2?21,(a?0,x?2,y?2) 2a21??21??22则x?y??a????a?2??2 ??aa????x?y?a?11?a2?2?2?2 （ 当a = 1时取“=” ） aax2?y22∴x?y???2?2

x?y2?2即y?2?x?2 ∴原式成立

七、 小结：

还有诸如“均值换元”“设差换元”的方法，有兴趣的课后还可进一步学习。 八、 作业：

1．若a2?b2?1，求证：asinx?bcosx?1

2． 若|a| < 1，|b| <1，则|ab?n(1?a2)(1?b2)|?1

nn3． 若|x|≤1，求证：(1?x)?(1?x)?2 4． 若a > 1, b > 0 , a ? b = 1，求证：0?1?1??1??a???b???1 ????a?a??b?5． 求证：0?1?x?x?1

6． 已知|a|≤1，|b|≤1，求证：|a1?b2?b1?a2|?1

第十教时

教材：不等式证明五（放缩法、反证法）

目的：要求学生掌握放缩法和反证法证明不等式。

过程：

九、简要回顾已经学习过的几种不等式证明的方法

提出课题：放缩法与反证法 十、 放缩法：

例一、若a, b, c, d?R+，求证：abcd1?????2

a?b?db?c?ac?d?bd?a?cabcd???证：记m =

a?b?db?c?ac?d?bd?a?c ∵a, b, c, d?R+

abcd????1 ∴m?a?b?c?da?b?c?ac?d?a?bd?a?b?cabcd????2 m?a?ba?bc?dd?c ∴1 < m < 2 即原式成立

例二、当 n > 2 时，求证：logn(n?1)logn(n?1)?1 证：∵n > 2 ∴logn(n?1)?0,logn(n?1)?0 ∴

?logn(n?1)??log(n?1)?logn(n?1)?logn(n?1)logn(n?1)??n??? ?22????2?log?nn ????1 ?2?2222 ∴n > 2时, logn(n?1)logn(n?1)?1 例三、求证： 证：

1111??????2 2222123n1111??? 2n(n?1)n?1nn ∴

1111111111??????1?1????????2??2 2222223n?1nn123n十一、 反证法：

例四、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a,不可能同时大于 证：设(1 ? a)b >

111, (1 ? b)c >, (1 ? c)a >, 4441 ① 641 4则三式相乘：ab < (1 ? a)b?(1 ? b)c?(1 ? c)a <

1?(1?a)?a?又∵0 < a, b, c < 1 ∴0?(1?a)a?? ??24??同理：(1?b)b?11, (1?c)c? 441 与①矛盾 642以上三式相乘： (1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤

∴原式成立

例五、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0 证：设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0 又由a + b + c > 0, 则b + c = ?a > 0

∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾 又：若a = 0，则与abc > 0矛盾， ∴必有a > 0 同理可证：b > 0, c > 0 十二、 作业：证明下列不等式：

1． 设x > 0, y > 0,a?x?yxy?, b?，求证：a < b

1?x?y1?x1?y放缩法：

x?yxyxy????

1?x?y1?x?y1?x?y1?x1?y2． lg9?lg11 < 1

?lg9?lg11??lg99??2? lg9?lg11??????????1

22?????2?3． logn(n?1)logn(n?1)?1

22?log??log?nnn(n?1)?(n?1)log(n?1)? log??1 ???nn22????114???0 4．若a > b > c, 则

a?bb?cc?a22222??11124???2?2?? ??a?bb?c(a?b)(b?c)a?c?(a?b)?(b?c)?1111????2?1(n?R?,n?2) 5．?nn?1n?2n11111n2?n?1 左边??2?2???2??2nnnnnn1111??????1 2n?1n?22n11?n?中式??n?1 2nn?16．

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