人教版高中数学《不等式》全部教案 2

第三章 不等式 第一教时

教材：不等式、不等式的综合性质

目的：首先让学生掌握不等式的一个等价关系，了解并会证明不等式的基本性质

ⅠⅡ。 过程：

一、引入新课

1．世界上所有的事物不等是绝对的，相等是相对的。 2．过去我们已经接触过许多不等式 从而提出课题 二、几个与不等式有关的名称 （例略） 1．“同向不等式与异向不等式” 2．“绝对不等式与矛盾不等式” 三、不等式的一个等价关系（充要条件） 1．从实数与数轴上的点一一对应谈起

a?b?a?b?0 a?b?a?b?0 a?b?a?b?0

2．应用：例一 比较(a?3)(a?5)与(a?2)(a?4)的大小

解：（取差）(a?3)(a?5)? (a?2)(a?4)

?(a2?2a?15)?(a2?2a?8)??7?0

∴(a?3)(a?5)<(a?2)(a?4)

例二 已知x?0, 比较(x2?1)2与x4?x2?1的大小 解：（取差）(x2?1)2?(x4?x2?1)

?x4?2x2?1?x4?x2?1?x2 ∵x?0 ∴x2?0 从而(x2?1)2>x4?x2?1

小结：步骤：作差—变形—判断—结论 例三 比较大小1．

13?213?2和10

解：∵?3?2

∵(3?2)2?(10)2?26?5?24?25?0 ∴2．

13?2<10

bb?m和 (a,b,m?R?) aa?mbb?mm(b?a)? ∵(a,b,m?R?) ?aa?ma(a?m)解：（取差）

bb?mbb?mbb?m>；当b?a时=；当b?a时< aa?maa?maa?m1t?13．设a?0且a?1，t?0比较logat与loga的大小

22∴当b?a时

t?1t?1(t?1)2?t 解：?t??0 ∴22211t?1t?1 当a?1时logat≤loga；当0?a?1时logat≥loga

2222四、不等式的性质

1．性质1：如果a?b，那么b?a；如果b?a，那么a?b（对称性） 证：∵a?b ∴a?b?0由正数的相反数是负数 ?(a?b)?0 b?a?0 b?a 2．性质2：如果a?b，b?c 那么a?c（传递性）

证：∵a?b，b?c ∴a?b?0，b?c?0 ∵两个正数的和仍是正数 ∴(a?b)?(b?c)?0

a?c?0 ∴a?c

由对称性、性质2可以表示为如果c?b且b?a那么c?a 五、小结：1．不等式的概念 2．一个充要条件 3．性质1、2 六、作业：P5练习 P8 习题6.1 1—3 补充题：1．若2x?4y?1，比较x2?y2与

1的大小 20111?4y(5y?1)222?0 ∴x2?y2≥解：x? x?y?=??=

2020252．比较2sin?与sin2?的大小(0

当??(0,?)时2sin?(1?cos?)≥0 2sin?≥sin2?

当??(?,2?)时2sin?(1?cos?)<0 2sin?

当0?a?1时a3?1?a2?1 ∴loga(a3?1)>loga(a2?1) 当a?1时a3?1?a2?1 ∴loga(a3?1)>loga(a2?1) ∴总有loga(a3?1)>loga(a2?1)

第二教时

教材：不等式基本性质（续完）

目的：继续学习不等式的基本性质，并能用前面的性质进行论证，从而让学生清

楚事物内部是具有固有规律的。 过程：

一、复习：不等式的基本概念，充要条件，基本性质1、2

二、1．性质3：如果a?b，那么a?c?b?c （加法单调性）反之亦然 证：∵(a?c)?(b?c)?a?b?0 ∴a?c?b?c

从而可得移项法则：a?b?c?a?b?(?b)?c?(?b)?a?c?b 推论：如果a?b且c?d，那么a?c?b?d （相加法则）

a?b?a?c?b?c?证：??a?c?b?d

c?d?b?c?b?d?推论：如果a?b且c?d，那么a?c?b?d （相减法则）

?a?b证：∵c?d ∴?c??d ??a?c?b?d

??c??d或证：(a?c)?(b?d)?(a?b)?(c?d)

?a?b?a?b?0? ??上式>0 ??? ?c?d?c?d?0?2．性质4：如果a?b且c?0, 那么ac?bc；

如果a?b且c?0那么ac?bc （乘法单调性） 证：ac?bc?(a?b)c ∵a?b ∴a?b?0

根据同号相乘得正，异号相乘得负，得：

c?0时(a?b)c?0即：ac?bc c?0时(a?b)c?0即：ac?bc

推论1 如果a?b?0且c?d?0，那么ac?bd（相乘法则） 证：

a?b,c?0?ac?bc???ac?bd

c?d,b?0?bc?bd?ab?（相除法则） cd推论1’（补充）如果a?b?0且0?c?d，那么

11?ab??0??? 证：∵d?c?0 ∴cd?cda?b?0??推论2 如果a?b?0, 那么an?bn (n?N且n?1) 3．性质5：如果a?b?0，那么na?nb (n?N且n?1) 证：（反证法）假设na?nb 则：若

nna?a?nnb?a?bb?a?b这都与a?b矛盾 ∴na?nb

三、小结：五个性质及其推论

口答P8 练习1、2 习题6.1 4 四、作业 P8 练习3 习题6.1 5、6 五、供选用的例题（或作业）

1．已知a?b?0，c?d?0，e?0，求证：

ee? a?cb?d11?a?b?0?ee???a?c?b?d?0???证： ?a?cb?d?c?d?0?a?cb?d?e?0?2．若a,b?R，求不等式a?b,11?同时成立的条件 ab11b?a????0?解：ab??ab?0 aba?b?b?a?0??3．设a,b,c?R，a?b?c?0,abc?0 求证

111???0 abc证：∵a?b?c?0 ∴a2?b2?c2?2ab?2ac?2bc?0

又∵abc?0 ∴a2?b2?c2>0 ∴ab?ac?bc?0

111ab?bc?ca??? abc?0 ∴ab?ac?bc?0 abcabc111∴???0 abc114．ab?0,|a|?|b| 比较与的大小

ab11b?a解：?? 当a?0,b?0时∵|a|?|b|即a?b

abab b?a?0 ab?0 ∴

11b?a?0 ∴<

abab∵

当a?0,b?0时∵|a|?|b|即a?b

b?a?0 ab?0 ∴

11b?a?0 ∴>

abab5．若a,b?0 求证：解：

b?1?b?a abb?a?1??0 ∵a?0 ∴b?a?0 ∴a?b aabb?abb?a?b?a?0 ∵a?0 ∴??1?0 ∴?1

aaa6．若a?b?0,c?d?0 求证：

logsin??logsin??? a?cb?d证：∵0?sin??1 ?>1 ∴logsin???0 又∵a?b?0,?c??d?0 ∴a?c?b?d ∴

11? ∴原式成立 a?cb?d第三教时

教材：算术平均数与几何平均数

目的：要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义，并掌握“平均不等式”及

其推导过程。 过程：

一、定理：如果a,b?R，那么a2?b2?2ab（当且仅当a?b时取“=”） 证明：a2?b2?2ab?(a?b)2

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