人教版高中数学《不等式》全部教案 2(4)

当且仅当b=c,c=a,a=b时取等号，而a, b, c是不全相等的正数 ∴a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc ii.

设a, b, c ? R， 1?求证：a2?b2?2(a?b) 22?求证：a2?b2?b2?c2?c2?a2?2(a?b?c) 3?若a + b = 1, 求证：a?11?b??2 22a2?b2a?b2a2?b2a?ba?b?()?0 ∴ 证：1?∵ ?||?22222 ∴a2?b2?2(a?b) 22(b?c)， 2c2?a2?2(c?a) 22?同理：b2?c2?三式相加：a2?b2?b2?c2?c2?a2?2(a?b?c) 3?由幂平均不等式：

111(a??b?)?22211(a?)?(b?)22?2(a?b?1)?22?1 2∴a?iii.

11?b??2 22111a , b, c?R, 求证：1?(a?b?c)(??)?9

abc1119??)? 2?(a?b?c)(a?bb?cc?a2abc3??? 3?

b?cc?aa?b2 证：1?法一：a?b?c?33abc,

1111, 两式相乘即得。 ???33abcabc左

边

法二：

a?b?ca?b?ca?b?cbacacb????3?(?)?(?)?(?)

abcabacbc ≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9

2?∵

a?bb?cc?a33???(a?b)(b?c)(c?a) 22221111 ???33a?bb?cc?a(a?b)(b?c)(c?a) 两式相乘即得

1119??)? a?bb?cc?a2cab9?1??1?? ∴1?a?bb?cc?a2abc3??? 即：

b?cc?aa?b2三、小结：综合法

3?由上题：(a?b?c)(四、作业： P15—16 练习 1，2 P18 习题6.3 1，2，3

补充：

a22b221．已知a, b?R且a ? b，求证：()?()?a2?b2（取差）

ba+

11112． 设??R，x, y?R，求证：xsin+

2??ycos2??x?y（取商）

a?b3a3?b3)?3． 已知a, b?R，求证：( 22证：∵a, b?R+ ∴(a?b)2?0 ∴a2?ab?b2?ab

∴a3?b3?(a?b)(a2?ab?b2)?ab(a?b) ∴3(a3?b3)?3ab(a?b)

∴4(a3?b3)?a3?3ab(a?b)?b3?(a?b)3

a?b3a3?b3)?∴( 224． 设a>0, b>0，且a + b = 1，求证：(a?12125)?(b?)2? ab211a?b1?4 ? ∴ab? ∴证：∵ab?4ab2211?11???a??b??1?????11ab??2?ab? ∴(a?)2?(b?)2?2?ab22????????????a?b?1???2?1???1??1?425??abab??2???2??2?? ?22???2??2?????????2222第八教时

教材：不等式证明三（分析法）

目的：要求学生学会用分析法证明不等式。

过程：

一、介绍“分析法”：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条

件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题。

二、 例一、求证：3?7?25

证： ∵3?7?0,25?0 综合法： 只需证明：(3?7)2?(25)2 ∵21 < 25 展开得： 10?221?20 ∴21?5

即： 221?10 ∴221?10 ∴

21?5 ∴10?221?20

即： 21 < 25（显然成立） ∴(3?7)2?(25)2 ∴3?7?25 ∴3?7?25

例二、设x > 0，y > 0，证明不等式：(x?y)?(x?y) 证一：（分析法）所证不等式即：(x2?y2)3?(x3?y3)2 即：x6?y6?3x2y2(x2?y2)?x6?y6?2x3y3 即：3x2y2(x2?y2)?2x3y3

2xy 32 ∵x2?y2?2xy?xy成立

322123133 只需证：x2?y2? ∴ (x?y)?(x?y)

证二：（综合法）∵(x2?y2)3?x6?y6?3x2y2(x2?y2)?x6?y6?6x3y3 ?x6?y6?2x3y3?(x3?y3)2 ∵x > 0，y > 0， ∴(x?y)?(x?y) 例三、已知：a + b + c = 0，求证：ab + bc + ca ≤ 0 证一：（综合法）∵a + b + c = 0 ∴(a + b + c)2 = 0

a2?b2?c2 展开得：ab?bc?ca??

22212313322123133 ∴ab + bc + ca ≤ 0 证二：（分析法）要证ab + bc + ca ≤ 0 ∵a + b + c = 0 故只需证 ab + bc + ca ≤ (a + b + c)2

即证：a2?b2?c2?ab?bc?ca?0

1 即：[(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2]?0 （显然）

2 ∴原式成立

证三：∵a + b + c = 0 ∴? c = a + b

∴ab + bc + ca = ab + (a + b)c = ab ? (a + b)2 = ?a2 ?b2 ?ab

b23b2]?0 = ?[(a?)?24例四、（课本例）证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指

横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大。

l?l? 证：设截面周长为l，则周长为l的圆的半径为，截面积为???，

2??2??l?l?周长为l的正方形边长为，截面积为??

4?4?22?l??l? 问题只需证：???> ??

?2???4??l2l2即证：2>

164?114? ，得：

?4l2因此只需证：4 > ? （显然成立）

22两边同乘

?l??l?∴ ???> ?? 也可用比较法（取商）证，也不困难。

?2???4?三、 作业： P18 练习 1—3 及 习题6.3 余下部分

22补充作业：

1．已知0 < ? < ?，证明：2sin2??cot? 21?cos?略证：只需证：4sin?cos?? ∵0 < ? < ? ∴sin? > 0

sin?故只需证：4sin2?cos??1?cos?

即证：4(1?cos?)(1?cos?)cos??1?cos? ∵1 + cos? > 0 只需证：4(1?cos?)cos??1 即只需证：4cos2??4cos??1?0

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