电磁学习题解答（林晓南）一

电磁学习题解答

第一章 真空中的静电场

1.3 解：如图所示，电荷元dq??dx

在P点的场强为

?dE??dx4??0(a?x)2?i

整个带电直线在P点的场强为

L??E??dE??2L??dx24??(a?x)02?i??L?2L2?4??0??a?4?????i

?i

点电荷在P点，受到的静电力为

??F?qE?qQ?2L2?4??0??a?4????F引?G1.4 解：

F库?q1q24??0r2m1m2 2r相距1米时

F库?9?109NF引?6.67?1011N F引?6.67?10?17N F库?F重相距1千米时

F库?9?103N1.5 解：要使m1悬空,应满足

q1q2?m1g 24??0r

4??0r20.01?9.8则m1所带电量为 q1?m1g??1.09?10?7C 为正电量。 9?4q29?10?101.6 解：如图所示，把半球面分成许多环带；在?处宽为Rd?的环带，其面积为

ds?2?Rsin?Rd?

其上电荷量为 dq?2??R2sin?d?

根据对称性，dq在球心O产生的电场强度沿x轴正方向，其大小为

dE?dq?cos??sin?cos?d?

2?04??0R2?积分得带电半球面在球心处总场强为

?E??dE?2?0?20sin?cos?d??? 4?0方向沿对称轴由半球指向外。

1.7 解：如图所示，电荷元dq??Rd???0cos?Rd?

在圆心处的场强为

dE??0cos?d?

4??0R此电场的两个分量为

?0cos2?d?dEx??dEcos???4??0R

?sin?cos?d?dEy?dEsin??04??0R由对称性 Ey??dEy?0

?x?0cos2?d??积分得合场强为 Ex??dEx??0??0

4??0R4?0R??0?E??i

4?0R2?1.8 (1)在平面上任取一点，设这点到左边直线的距离为x,则该点的合场强为

E????a方向如图所示。 ??2??0x2??0(a?x)2??0x(a?x)(2)一根带电直线在另一带电直线处的电场为

E??，方向垂直于该直线，另一带电直线单位长度受此电场的力为 2??0a?2方向：垂直于直线，为相互吸引力。 F?E??2??0a1.10 解：(1)以球心为心，r为半径作高斯面s，根据对称性，S上各点的电场

???强度E大小相等，方向该处面元ds方向平行，故E对高斯面s的通量为

??2??sE?ds???sEds?E??sds?E?4?r

由高斯定理得

??r?R1?0,???112E?ds?4?rE?Q??Q1R1?r?R2 ??s?0??0?1?(Q1?Q2)r?R2??0??r?R1 I区?0??Q1?rR1?r?R2 II区 由上式得 E???20?4??0r?Q1?Q2?rr?R2 III区?20?4??r0? (2)当Q2??Q1时

E?0r?R1 或 r?R2

?E?Q14??0r2?r0R1?r?R2

1.11 解：以圆柱的轴线为轴线，半径为r作长为l的圆柱面s，由对称性和高

斯定理得

??Q E?ds?2?rlE???s?0式中Q是s所包围体积内的总电量，在圆柱体内，r?R,Q??r2l?

?r2l?故得 2?rlE ??0??r?E?r0

2?02?rlE??R2l?/?0??R2? E?r02?0r在圆柱体外，Q??R2l?，故得

E?r曲线如图1.11所示 1.12 解：P点的场强可看成带+σ的无限大均匀带电平面和带??的半径为R均

匀带电圆板在P处场强的叠加在P点，E无限大?E圆板?方向：x轴正方向2?0??2?0?a?1??R2?a2???方向：?x方向，P点合场强为 ??EP?E无限大?E圆板

????2?02?0?a?1??R2?a2?2?? ??2?0R?a????1.15 解：电偶极子受的力矩为M?Pe?E M?PeEsin?电偶极子由转到?角时

2 ??a2 方向沿x轴正方向

电场力做的功为

A???Md???2????2???PeEsin?d??PeEcos??Pe?E

1.16 解：在圆环上取一电荷元dq，它在距圆心x处P点的电势为du?积分得P点总电势

u??du???q4??0r?dq4??0r?dq ?4??r0qdq4??0r

1q 221/24??0(x?R)1.17 解：以球心为心，作半径为r的球形高斯面，由对称性和高斯定理得

r?R?0???2 E?ds?E?4?r??q??sr?R???0r?R?0?? 故电场强度 E??q?

rr?R?4??r200?由电势定义

r?R

???u??E?dr

r时， u??r0?dr??RR?q2r?R

4??0r?qq时， u??r dr?4??0r4??0r2dr?q4??0R

1.18 解：(1)根据1.17题，知半径为R的均匀带电球面的电势分布为

?q?4??R?0u???q??4??0rr?R

r?R可用电势叠加法求电势分布

4??0R14??0R2Q1Q2 R1?r?R2时， u??4??0r4??0R2QQQ?Q r?R2 时， u?1?2?12

4??0r4??0r4??0r r?R1 时， u?Q1?Q2

(2)如果保持内球上的电量Q1不变，改变外球电量Q2，由以上结论可

知，整个空间的电势均随Q2而变，两球面之间电势差

u??R2R1??R2E?dr??R1Q14??0rdr?2Q14??0?11????RR??

2??1不随Q2变化。

1.19 解：(1)由电势叠加原理，内球电势

u1?Q14??0R1?Q24??0R2

知内球电量 Q1?4??0R1??u1????? ?4??0R2?Q2 (2)空间电势分布为

???u1?Q2?Qu??1??4??0r4??0R2?Q1?Q2???4??0rr?R1R1?r?R2 r?R21.20 解：根据对称性和高斯定理，知场强分布

?0 r?1.5cm或r?3.0cm?? E?????2??rr0 1.5cm?r?3.0cm0?当r?1.5cm时

?内筒外表面附近的电场强度最大， 2??0ab??b两筒的电势差 uab??adr?ln

2??0r2??0aEmax?故电场强度的最大值为

Emax?uab?aln(b/a)50001.5?10?2?ln3.01.5?4.8?105V/m

1.21 解：因带电圆柱体为无限长，所以不能取无限远处为势能零点，本题以圆

柱轴线上一点为势能零点，由题1.11可知，

??r?0r???2?0空间电场分布为 E??2??Rr?0??2?0rr?R

r?R则电势分布

r?R 时，

u??r0?r?2dr??r 2?04?00?r?R2?R2?R?dr??dr?2ln?1? ?R2?2?0r4?0?r?0 r?R时， u??rR1.22 解：点电荷Q1,Q2在A点产生的总电势为uA?的总电势为

uB?Q1Q2 ?4??0?4r4??0?3rQ1Q2在B点产生?4??0?2r4??0?r当点电荷q从A点移到B点，电场力做的功为

A?q(uA?uB)?qQ14??01?qQ2?1?????2r4r?4??0q?11??????r3r?4??0?Q12Q2???? 4r3r??1.23 解：将q1从无穷远外移到A点电场力做的功为(以无穷远处为电势零点)

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