习题集含详解高中数学题库高考专点专练之48诱导公式(4)

73. ? 3

4

【解析】sin ??+ =sin ???+ =cos ??? =，由 ?? 是第四象限角，可知 sin ??? =?，

4424545所以 tan ???4 =74. 6

【解析】cos ??+4 =75. ? 3 【解析】cos 2??? =?sin??， 所以 sin??=?又 ?? <2， 所以 cos??>0， 所以 cos??=2，

所以 tan??=cos??=? 3． 76. ?

5+1 4

sin??1π

3． 23π2

π

1+cos 2??+

2

π

2

ππππ3π4

π

π4πcos ??? 4

sin ??? =?3．

4

1

=

1?sin2??

2

=6．

1

【解析】由 sin36°=cos54° 得 2sin18°cos18°=cos 36°+18° ， 化简整理得 4sin218°+2sin18°?1=0， 解得 sin18°=

?2+ 22+162×4

5?1

，所以 4

°

=

cos2016

=cos 6×360°?144° =cos 144°

5+1

=?cos36°=2sin218°?1=?.

4

77. ②，45°,65° .

【解析】由题意，三角形 ?????? 为锐角三角形，??+??1=90° 或 ??+??1=180°，??+??1=90° 或 ??+??1=180°，??+??1=90° 或 ??+??1=180° .所以经检验②存在“友好”三角形；当 ??=70° 时，??+??=110° . ??1+??1=160°或20° .不防设另外两个角中的一个角 ?? 的度数为 ?? ，则另一个角的度数为 110°??? .所以对应的 ??1 、 ??1 分别为：??1=90°???，??1=90°? 110°??? （舍）；或 ??1=180°? 90°??? ，??1=90°? 110°??? .所以 ??=45°,??=65° . 78. ②③④

【解析】①??=cos?? 在 0,2 上是减函数，但在第一象限不是减函数，例如 cos3=2，cos显然 3<

π

13π6

π

π

1

13π6

=

3，2

时，2<

1

3，①不正确； 2

②因为 cos ??+?? =1， 所以 sin ??+?? =0，

所以 sin 2??+?? +sin??=sin ??+?? +?? +sin??=sin??+sin??， 又 ??+??=2??π，??∈??， 所以 ??=2??π???，??∈??，

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所以 sin??+sin??=sin 2??π??? +sin??=?sin??+sin??=0， 所以②正确；

③?? ??+2 =?? ??+1 +1 =??? ??+1 =? ??? ?? =?? ?? ， 所以 2 是 ?? ?? 的周期，③正确； ，?? ∥??④因为 ?? ∥?? ，

，?? =????所以存在非零实数 ??，?? 有 ?? =???? ， 所以 ?? = ???? ?? ， 所以 ?? ∥?? ，④正确；

=0，而 ?? 可以不共线，⑤不正确． ⑤若 ??=??=0，则必有 ???? =???? 与 ??79. 1 或 3 【解析】

cos??cos??

=?

??2??+??

，

即有 ?2??cos??=??cos??+??cos??，

即 ?2sin??cos??=sin??cos??+cos??sin??=sin ??+?? =sin??， 即有 cos??=?2，

由于 ?? 为三角形的内角，则 ??=

2π3

1

，

又 ??2=??2+??2?2????cos??，即有 13=??2+??2+????， 又 ??+??=4，

解得，??=1，??=3 或 ??=3，??=1． 80. 4

【解析】（i）若 ??=2， 若 ??=3，则 ??=

5π

；若 ??=?3，则 ??=3

π3

4π3

．

（ii）若 ??=?2，

若 ??=?3，则 ??=；若 ??=3，则 ??=共 4 组． 第三部分

81. （1） ①cos225°=cos 180°+45° =?cos45°=?②sin

25π6

2. 2

2π3

．

=sin 6+4π =sin6=2.

17π33

ππ1

③sin ?④tan ?

=sin 3?3×2π =sin3=

π

π

ππ

3. 2

32π

=tan ?11π+3 =tan3= 3.

（2） ①sin85°=sin ?5°+90° =cos5°.

②cos5π=cos 2+10 =?sin10=?sin18°. ③tan3=tan ?6+2 =cot6=sin30°. 82. （1） 由题图得 ?? 0 =

3， 2

π

π

π

π

3

π

π

π

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所以 cos??=

因为 0

2

3， 2π

故 ??=6．

由于 ?? ?? 的最小正周期等于 2， 所以由题图可知 1

7π

π

13π6

π

．

=

3， 2

π 3 得 cos+ π?? 026π11π5

所以 π??0+=，??0=．

663

1

（2） 因为 ?? ??+3 =cos π ??+3 +6 =cos π??+2 =?sinπ??， 所以

1

?? ?? =?? ?? +?? ??+ 3π

=cos π??+ ?sinπ??

6ππ

=cosπ??cos?sinπ??sin?sinπ??

663 3=cosπ???sinπ??22π

= 3sin ?π?? .

6当 ??∈ ?2,3 时，?6≤6?π??≤所以 ?2≤sin 6?π?? ≤1， 故 6?π??=2，

即 ??=? 时，?? ?? 取得最大值 3；

31

π

π

1

3． 2

π

π

1

π

11

π

π

2π3

1ππ

．

当 6?π??=?6，即 ??=3 时，?? ?? 取得最小值 ?得 ?? ?? =sin????cos????+cos2????=2sin2????+所以 ??=

2π2??

1

83. （1） 由 ?? ?? =sin π????? cos????+cos2????，

1+cos2????

2

=

2sin 2????2

+4 +2，

π1

=π，得 ??=1．

2sin 2??2π

1

（2） 由（1）知 ?? ?? =所以 ?? ?? =

2sin 22ππ4

π2

+ +， 42

2sin 4??2

π1

×2??+4 +2=+4 +2，

π1

因为 0≤??≤16，

π4 2所以 ≤4??+≤， 所以 2≤sin 4??+4 ≤1， 所以 ?? ?? ∈ 1,

2+1 ． 2

??

??

π

84. （1） 在 △?????? 中，由 sin??=sin??，可得 ??sin??=??sin??，

第18页（共23页）

又由 ??sin2??= 3??sin??，得 2??sin??cos??= 3??sin??= 3??sin??． 又 sin??≠0，得 cos??=

13

3，从而 ??2

3

=．

6

π

（2） 由 cos??=，得 sin??=

2 2，则 sin??

=sin π? ??+?? =sin ??+??

π

=sin ??+ 6 1 3=sin??+cos??222 6+1=.

6=π，

3． 2

85. （1） ∵ 函数 ?? ?? 的最小正周期 ??=∴??=2，

∴?? 4 =cos 2×4+?? =cos 2+?? =?sin??=又 ?

2ππ

π

π

2π??

∴??=?3．

（2） 由（1）知 ?? ?? =cos 2??? ，列表如下：

3

π5π2π11π

π

612312πππ3π5π

2????0π

3322311

?? ?? 10?10

22?? ?? 在 0,π 上的图象如图所示：

??

0

π

π

（3） ∵?? ?? >

π4π

∴2??π?<2???<2??π+ ??∈?? ，则 2??π+

3

4

2，即 cos 2??2ππ

7π

?3 >

π

2， 2

π12

<2??<2??π+

7π12

??∈?? ，

即 ??π+24

π7π

∴?? 的取值范围是 ?? ??π+24

86. （1） 因为

sin ????180° =sin ? 180°+??

=?sin 180°+?? =sin??,

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cos ????180° =cos ? 180°+??

=cos 180°+?? =?cos??,

所以

cos 180°+?? ?sin ??+360°

原式=

sin ????180° ?cos ?180°??? ?cos???sin??

=

sin??? ?cos?? =1.

（2） 因为 tan??=?4， 所以

cos +?? ?sin ?π??? cos ??? ?sin

2

?sin???sin??=

?sin??? ?cos?? =?tan??

3=.

4

87. 因为 sin 3π+?? =?sin??=2， 所以 sin??=?2， 所以

cos 3π+?? cos ???4π

+

cos?? cos π+?? ?1 cos ??+2π cos 3π+?? +cos ??? ?cos??cos??

=+

?cos?? cos??+1 cos?? ?cos?? +cos??11=+

1+cos??1?cos?? 2=

sin2??2=

12 ?2 =8.

?? ?? =

88. （1）

sin π??? cos 2π??? cos

π2

3π

+?? 23

π

211π11π2

+??

1

1

cos +?? sin π+?? sin??cos??sin??

= ?sin?? ?sin?? =cos??,

π

π

1

?? ? =cos ? =cos=．

3332

（2） 因为 cos ???2 =cos 2??? =5， 所以 sin??=，

53

π

π

3

π

因为 ?? 是第二象限角， 所以 cos??=?5，

4

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