天津理工大学概率论与数理统计同步练习册答案详解(7)

12、设(X,Y)相互独立且分别具有下列表格所定的分布律

1 21 3X Pk ?2 1 4?1 1 30 1 12Y Pk ?1 21 1 43 1 41 2 试写出(X,Y)的联合分布律. 解：

X Y 1? 21 3 ?2 ?1 1 81 161 161 61 121 120 1 241 481 481 21 61 121 1213、设X,Y相互独立，且各自的分布律如下：

X Pk 1 1 22 1 2Y Pk

1 1 22 1 2求Z?X?Y的分布律. 解：P{X?k}?Pkk?0,1,2,?

P{Y??}?q???0,1,2,?

i?0,1,2,?

111?? 224Z?X?Y的分布律为P{Z?i}?Pkqi?kZ的全部取值为2,3,4

P{Z?2}?P{X?1,Y?1}?P{X?1}P{Y?1}?P{Z?3}?P{X?1,Y?2}?P{X?2,Y?1}

31

11111???? 22222111P{Z?4}?P{X?2,Y?2}?P{X?2}P{Y?2}???

224

14、 X,Y相互独立，其分布密度函数各自为

?P{X?1}P{Y?2}?P{X?2}P{Y?1}?x?112?e fX(x)??2?0?x?0x?0

y?13?efY(y)??3?0?y?0y?0

求Z?X?Y的密度函数.

解：Z?X?Y的密度函数为fZ(Z)??????fX(x)fY(Z?x)dx，

由于fX(x)在x?0时有非零值，fY(Z?x)在Z?x?0即x?Z时有非零值， 故fX(x)fY(Z?x)在0?x?Z时有非零值

fZ(Z)???Z3Z01?21?e?e23?Z3xZ?x3dx?eZ6?Z3?Z01?6edx 6x?e[?e]?e(1?e当Z?0时，f(Z)?0

ZZ???6?3故fZ(Z)??e(1?e)?0?

?x6Z0?)

Z?0 Z?0

32

第4章

随机变量的数字特征

一、填空题

1、设X为北方人的身高，Y为南方人的身高，则“北方人比南方人高”相当于 E(X)?E(Y)

2、设X为今年任一时刻天津的气温，Y为今年任一时刻北京的气温，则今年天津的气温变化比北京的大，相当于D(X)?D(Y) .

3、已知随机变量X服从二项分布，且E(X)?2.4,D(X)?1.44，则二项分布的参数

n= 6 , p= 0.4 .

4、已知X服从?(x)?5、设X的分布律为

X

1?e?x2?2x?1，则. E(X)= 1 ,D(X)= 1/2 .

?1 0

33

1 2

P 1 81 41 21 8则E(2X?1)?9/4 .

6、设X,Y相互独立，则协方差cov(X,Y)? 0 .

这时，X,Y之间的相关系数?XY? 0 . 7、若?XY是随机变量(X,Y)的相关系数，则|?XY|?1的充要条件是P?Y?aX?b??1. 8、?XY是随机变量(X,Y)的相关系数，当?XY?0时，X与Y 不相关 ，当|?XY|?1时， X与Y 几乎线性相关 .

9、若D(X)?8,D(Y)?4，且X,Y相互独立，则D(2X?Y)? 36 . 10、若a,b为常数，则D(aX?b)?a2D(X).

11、若X,Y相互独立，E(X)?0,E(Y)?2，则E(XY)? 0 . 12、若随机变量X服从[0,2?]上的均匀分布，则E(X)? π .

13、若D(X)?25,D(Y)?36,?XY?0.4，则cov(X,Y)? 12 ，D(X?Y)? 85 ，

D(X?Y)? 37 .

14、已知E(X)?3，D(X)?5，则E(X?2)2? 30 . ?e?xx?015、若随机变量X的概率密度为?(x)??，则E(2X)? 2 ，

?0x?0 E(e?2X)?1/3 .

二、计算题

1、五个零件中有1个次品，进行不放回地检查，每次取1个，直到查到次品为止。设X

表示检查次数，求平均检查多少次能查到次品？

解: X的分布律为:

1 2 3 4 5 X 34

pk

E(X)? 答：略

1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 1(1+2+3+4+5)=3. 52、某机携有导弹3枚，各枚命中率为p，现该机向同一目标射击、击中为止，问平均射] 击几次？

解: 设X为射击次数，则X的分布律为:

X 1 2 3 pk p p(1?p) (1?p)2

? E(X)?p?2p(1?p)?3(1?p)2?p2?3p?3

答：略

3、设X的密度函数为f(x)???2x0?x?1?0其它，求E(X)、D(X)

解: E(X)????xf(x)dx??12x2dx?2??03

E(X2)??????x2f(x)dx??13102xdx?2 故 D(X)?E(X2)?(E(X))2?12?(213)2?18

4、(拉普拉斯分布)X的密度函数为f(x)?1e?|x|2(???x???)，求. 解: E(X)????1?x?? x2edx?0

E(X2)???? x21e?xdx????x2e?xdx?????x2de?x??200 ??x2e?x????x0?2???0xe?xdx??2??0xde

??2e?x??0?235

E(X)、D(X)

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