天津理工大学概率论与数理统计同步练习册答案详解

第一章 随机变量 习题一

1、写出下列随机试验的样本空间

(1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和

? ?= ?3,4,?,18(2)生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数

? ?= ?10,11,?(3)对某工厂出厂的产品进行检验，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，

如连续查出2个次品就停止，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。用“0”表示次品，用“1”表示正品。

?={00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111} (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标 ?= {(x,y)|x2?y2?1}

(5)将一尺长的木棍折成三段，观察各段的长度

?={(x,y,z)|x?0,y?0,z?0,x?y?z?1} 其中

x,y,z分别表示第一、二、三段的长度

(6 ) .10只产品中有3只次品 ，每次从其中取一只(取后不放回) ，直到将3只次品都取出 ， 写出抽取次数的基本空间U =

“在 ( 6 ) 中 ，改写有放回抽取” 写出抽取次数的基本空间U = 解: ( 1 ) U = { e3 ， e4 ，… e10 。}

其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 …、

10

( 2 ) U = { e3 ， e4 ，… }

其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 …

2、互不相容事件与对立事件的区别何在？说出下列各对事件的关系

(1)|x?a|??与|x?a|?? 互不相容 (2)x?20与x?20 对立事件 (3)x?20与x?18 互不相容 (4)x?20与x?22 相容事件 (5)20个产品全是合格品与20个产品中只有一个废品 互不相容 (6)20个产品全是合格品与20个产品中至少有一个废品 对立事件 解: 互不相容:AB??

; 对立事件 : (1)AB?? 且 A?B??

3、设A,B,C为三事件，用A,B,C的运算关系表示下列各事件

1

(1)A发生，B与C不发生 - ABC (2)A与B都发生，而C不发生 - ABC (3)A,B,C中至少有一个发生 -A?B?C (4)A,B,C都发生 -ABC (5)A,B,C都不发生 - ABC (6)A,B,C中不多于一个发生 -AB?AC?BC (7)A,B,C中不多于两个发生-A?B?C (8)A,B,C中至少有两个发生-AB?AC?BC

4、盒内装有10个球，分别编有1- 10的号码，现从中任取一球，设事件A表示“取到的球的号码为偶数”，事件B表示“取到的球的号码为奇数”，事件C表示“取到的球的号码小于5”，试说明下列运算分别表示什么事件.

(1)A?B 必然事件 (2)AB 不可能事件

(3)C 取到的球的号码不小于5 (4)A?C 1或2或3或4或6或8或10 (5)AC 2或4 (6)AC 5或7或9

(7)B?C 6或8或10 (8)BC 2或4或5或6或7或8或9或10 5、指出下列命题中哪些成立，哪些不成立.

(1)A?B?AB?B 成立 (3)A?BC?ABC

(2)AB?A?B 不成立 (4)(AB)(AB)?? 成立

(6)若AB??，且C?A，则BC?? 成

不成立

成立

(5)若A?B，则A?AB 立

(7)若A?B，则B?A 成立 (8)若B?A，则A?B?A 成立

7、设一个工人生产了四个零件，Ai表示事件“他生产的第i个零件是正品”

(i?1,2,3,4)，用A1,A2,A3,A4的运算关系表达下列事件.

(1)没有一个产品是次品； (1) B1?A1A2A3A4

(2)至少有一个产品是次品；(2) B2?A1?A2?A3?A4?A1A2A3A4 (3)只有一个产品是次品；(3) B3?A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4

2

(4)至少有三个产品不是次品

4)B4?A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4

8. 设 E、F、G是三个随机事件，试利用事件的运算性质化简下列各式 ： (1)E?F??E?F?(2) ?E?F??E?F?E?F （3）?E?F???F?G? 解 :(1) 原式 ??E?E???E?F??E?F?F?F?E (2) 原式 ??E?F??E?F?E?F?F?E?F?F?E (3) 原式 ??E?F???E?G???F?F???F?G??F??E?G?

9、设A,B是两事件且P(A)?0.6,P(B)?0.7，问(1)在什么条件下P(AB)取到最大 值，最大值是多少？(2)在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？ 解: (1)A?B,P(AB)?0.6

(2)A?B?S,P(AB)?0.3

????????????????10. 设 事 件 A， B， C 分 别 表 示 开 关 a， b， c 闭 合 ， D 表 示 灯 亮 ， 则可用事件A，B，C 表示：(1) D = AB?C ；(2) D = ?A?B?C 。

acb 1111、设A,B,C是三事件，且P(A)?P(B)?P(C)?,P(AB)?P(BC)?0,P(AC)?，

48 求A,B,C至少有一个发生的概率.

解:P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)

?AB?ABC

?11115???0??0?0?44488

0?P(ABC)?P(AB)?0

?P(ABC)?0

1112. (1)设事件A , B的概率分别为 与 ，且 A 与 B 互 斥，则 P(AB)=

541 . 53

(2).一个盒中有8只红球，3只白球，9只蓝球 ，如果随机地无放回地摸3只

14球 ，则取到的3 只 都 是 红 球 的 事 件 的 概 率 等 于 ___285____。 (3) 一 袋中有4只白球，2只黑球，另一只袋中有3只白球和5只黑球，如果 从每只袋中各摸一只球 ，则摸到的一只是白球，一只是黑球的事件的概 率

13 等于 ___24___。

(4) .设 A1 , A2 , A3 是随机试验E的三个相互独立的事件，

已知P(A1) = ? , P(A2) = ?，P(A3) = ? ，则A1 , A2 , A3 至少有一个 发生的概率是 1??(1???)(1?? ?)(1???) .

(5) ．一个盒中有8只红球，3只白球，9只蓝球，如果随机地无放回地摸3只球，

34 则摸到的没有一只是白球的事件的概率等于 __57____。 13、在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任取200个，求

(1)恰有90个次品的概率； (2)至少有2个次品的概率.

200119990110?C1100?C400C1100C400C1100P(2)?1??P(1)??C200?2000200C1500C1500?? 1500 解:

14、两射手同时射击同一目标，甲击中的概率为0.9，乙击中的概率为0.8，两射手

同时击中的概率为0.72，二人各击中一枪，只要有一人击中即认为“中”的， 求“中”的概率.

解:A?“甲中” B?“乙中”

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.9?0.8?0.72?0.98

15、8封信随机地投入8个信箱(有的信箱可能没有信)，问每个信箱恰有一封信的概 率是多少？ 解: P(A)?8! 8816、房间里有4个人，问至少有两个人的生日在同一个月的概率是多少？ 解：设所求事件A?“至少有两个人的生日在同一个月的”

A?“任何两个人的生日都不在同一个月”

44A12A12P(A)?4,P(A)?1?P(A)?1?4?0.4271212

4

17、将3个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概 率各是多少？

解：3个球放入4个杯子中去共有43种放法，设Bi表示杯子中球的最大个数为n的

3事件(n?1,2,3),B1表示每只杯子最多只能放一个球，共有A4种方法，故3A43P(B1)?3?;B2表示有一只杯子中放2个球，先在3个球中任取2只放入4个

84杯子中的任意一只，共有C32?4种方法，剩下的一个球可以放入剩下的3只杯子中的任一只，有3种放法，故B2包含的基本事件数为C32?4?3?36，于是

P(B2)?369? ;B3表示有一只杯子中放3个球，共有4种方法，故431641?. 3164P(B3)?18. 设 一 个 质 点 等 可 能 地 落 在 xoy 平 面 上 的 三 角 形 域 D 内

( 其 中 D 是 x = 0 ，y = 0 ， x + y = 2所 围 成 的 ) ， 设 事 件 A 为：

y 21D1质 点 落 在 直 线 y = 1 的 下 侧 ， 求 P(A) 。

1(1?2)3D1P(A)??12?D2?2?24

o 2 x

19、(1)已知P(A)?0.3,P(B)?0.4,P(AB)?0.5，求P(B|A?B)

(2)已知P(A)?111,P(B|A)?,P(A|B)?，求P(A?B) 432 解: (1)P(B|A?B)?0.25

(2)P(A?B)?1 35

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