天津理工大学概率论与数理统计同步练习册答案详解(6)

12、 设 ( ? 、 ? ) 的 联 合 分 布 函 数 为

111?A???x?0,y?0?222 F?x,y???则 A =__1___。 ?1?x?y??1?x??1?y??0 ?二、证明和计算题

1、袋中有三个球，分别标着数字1,2,2，从袋中任取一球，不放回，再取一球，设第一次取的球

上标的数字为X，第二次取的球上标的数字Y，求(X,Y)的联合分布律.

1?0 3 X 1 2 11 P{X?1,Y?2}??1? Y 331211 1 0 P{X?2,Y?1}???

332311211 2 P{X?2,Y?2}???

33323 2、三封信随机地投入编号为1,2,3的三个信箱中，设X为投入1号信箱的信数，Y为投入2

解：P{X?1,Y?1}? 号信箱的信数，求(X,Y)的联合分布律. 解：X的可能取值为0,1,2,3

Y的可能取值为0,1,2,3

2C3133 P{X?0,Y?0}?3 P{X?0,Y?1}?3P{X?0,Y?2}?3?3

3333 P{X?0,Y?3}?1 33P{X?1,Y?0}?33?2P{X?1,Y?1}? 33332C3 P{X?2,Y?0}?3

33?1 P{X?1,Y?2}?3 P{X?1,Y?3}?0

33 P{X?2,Y?2}?0 P{X?2,Y?3}?0 331 P{X?3,Y?0}?3 P{X?3,Y?1}?P{X?3,Y?2}?P{X?3,Y?3}?0

3 P{X?2,Y?1}?X Y 0 1 2 3 26

0 1 2 3 127327327127 33 272763 27273 0 271 270 0 0 0 0 ?13、设 函 数 F(x , y) = ??0随 机 变 量 的

x?2y?1 ；问 F(x , y) 是 不 是 某 二 维

x?2y?1 联 合 分 布 函 数 ？ 并 说 明 理 由 。

解： F(x , y) 不 可 能 是 某 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数

因 P{0 < ? ? 2， 0 < ? ?1}= F(2 , 1) ??F(0 , 1) ??F(2 ,

0) + F(0 , 0)

= 1??1??1 + 0 = ??1 < 0

故 F(x , y) 不 可 能 是 某 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数 。

?2g(x2?y2),0?x,y??????224、设g(x)?0,且?g(x)dx?1，有f(x,y)?? [?x?y]0?其它?0,证明：f(x,y)可作为二维连续型随机变量的概率密度函数。 证明：易验证f(x,y)?0，又? ＝

?????????f(x,y)dxdy???0????2g(x2?y2)0?x?y22dxdy

2???20d????0??g(r)rdr??g(r)dr?1

0r符合概率密度函数的性质，可以是二维连续型随机变量的概率密度函数。

5、在[ 0,?] 上 均 匀 地 任 取 两 数 X 与 Y，求P{cos(X?Y)?0}的值。

?1,0?x,y???3?3?)? 解：f(x,y)???2，P{cos(X?Y)?0＝P{?X?Y?224?0,其它?27

?ke?(3x?4y)x?0,y?06、设随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y)??

其它?0 (1)确定常数k

??00(2)求(X,Y)的分布函数 (3)求P{0?X?1,0?Y?2}

解：(1)?dy?ke?(3x?4y)dx?1

11k??dy?e?3xdx?k[?e?4y]0?[?e?3x]0? ?k?12 004312yx1(2)F(x,y)???12e?(3u?4v)dudv?12?(1?e?3x)(1?e?4y)

0012k?e??4y??(1?e?3x)(1?e?4y)

F(x,y)?0

x?0,y?0

(3)P{0?X?1,0?Y?2}?F(1,2)?F(0,0)?F(1,0)?F(0,2)

?(1?e?3)(1?e?8)?0?0.95021 7、设随机变量(X,Y)的概率密度为

?x2?xy/3 f(x,y)???00?x?1,0?y?2其它 求P{X?Y?1}

解：P{X?Y?1}?x?y?11??f(x,y)dxdy??dx?0121?x(x2?xy)dy 3x4565??(?x2?x3)dx? 023672

8、设随机变量(X,Y)在矩形区域D?{(x,y)|a?x?b,c?y?d}内服从均匀分布，

(1)求联合概率密度及边缘概率密度. (2)问随机变量X,Y是否独立？ 解：(1)根据题意可设(X,Y)的概率密度为

?Mf(x,y)???0a?x?b,c?y?d其它28

1???????????f(x,y)dxdy?M?dx?dy?M(b?a)(d?c)

acbd于是M??1/(b?a)(d?c)1，故f(x,y)??0(b?a)(d?c)?????a?x?b,c?y?d其它

fX(x)??f(x,y)dy??dcdy1 ?(b?a)(d?c)b?a?1?即fX(x)??b?a??0fY(y)??????a?x?b其它

f(x,y)dx??dx1?

a(b?a)(d?c)d?cb?1/(d?c)即fY(y)???0c?y?d其它

(2)因为f(x,y)?fX(x)?fY(y)，故X与Y是相互独立的.

?1?3?x?3?y?3?x?y,x?0,y?09、随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)??求：

0,其它?（1）边缘密度；（2）验证X,Y是否独立。

22?x?y, 解：（1）?F(x,y)?x?ln3?(3?x?3?x?y)，?F(x,y)?x?y?ln3?3 x?0,y?0.

?ln23?3?x?yx?0,0?y f(x,y)??

0其它?

??2?x?y?dy?ln3?3?xx?0??0ln3?3 fX(x)??,

?其它?0??2?x?y?dx?ln3?3?y,y?0??0ln3?3 fY(y)??

?其它?0

29

(2) 因为f(x,y)?fX(x)?fY(y)，故X与Y是相互独立的.

10、一电子器件包含两部分，分别以X,Y记这两部分的寿命(以小时记)，设(X,Y)的分布函

?1?e?0.01x?e?0.01y?e?0.01(x?y) 数为F(x,y)??0?x?0,y?0其它

} (1)问X和Y是否相互独立？ (2)并求P{X?120,Y?120?1?e?0.01xx?0解：(1)FX(x)?F(x,??)??

x?0?0?1?e?0.01y FY(y)?F(??,y)??0?y?0y?0

易证FX(x)FY(y)?F(x,y)，故X,Y相互独立. (2)由(1)X,Y相互独立

P{X?120,Y?120}?P{X?120}?P{Y?120}?[1?P{X?120}]?[1?P{Y?120}]

?[1?FX(120)][1?FY(120)]?e?2?4?0.091

xy11、设 随 机 变 量 (? , ?)的 分 布 函 数 为 F(x,y)?A(B?arctg)(C?arctg)23求：( 1 )

系 数 A , B及 C的 值 ， ( 2 ) (? , ?)的 联 合 概 率 密 度 ?(x , y)。

??解：( 1 ) F(??,??)?A(B?)(C?)?1

22?? F(??,??)?A(B?)(C?)?0

22?? F(??,??)?A(B?)(C?)?0

221? 由 此 解 得 A?2,B?C?,

?26( 2 ) ?(x,y)?2

?(4?x2)(9?y2)30

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