2011届高三数学精品复习之(13)直线的方程、两条直线的位置关系、

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2011届高三数学精品复习之直线及线性规划

1．直线的倾斜角的范围：[0，?)，x轴及平行于x轴的直线倾斜角是0而不是?；y轴及平行于y轴的直线的倾斜角为

?而不是没有倾斜角（只是斜率不存在）；已知斜率（的范围）2会求倾斜角（的范围），记住：当倾斜角α是锐角时，斜率k与α同增同减，当α是钝角时，k与α也同增同减。斜率的求法：①依据直线方程②依据倾斜角③依据两点的坐标④方向向量（以a=（m,n）（m≠0）为方向向量的直线的斜率为域时的运用。

[举例1]已知两点A(－1，－5)，B(3，－2)，直线l的倾斜角是直线 直线l的斜率为： ．

解析：记直线l的倾斜角为?，则直线AB的倾斜角为2?，其斜率tan2?=

倾斜角的一半，则

n）。关注斜率在求一类分式函数值m3? 42tan?313?? tan=-3或tan=而由tan2=>0得2是锐角，则∈（0，）， ??????23441?tan?41y ∴tan?=。 3[举例2] 函数y?Sin??1的值域为 。 3?Cos?解析：记P（cos?,sin?）,A(-3,1) 则y=kPA，P点的轨迹是圆心为原点 的单位圆，如右图：当直线PA与圆相切时，其斜率分别为0和?∴y=kPA ∈[?A x O 3，4[来源:Z+xx+k.Com]

33，0]。注：这里存在一个kPA在0与?“之间”还是“之外”的问题，原44则是其间是否有斜率不存在的情况，若有则在“之外”，若无则在“之间”。 [巩固1] 已知直线l：xcos??y?2?0则l倾斜角的范围是： 。 [巩固2]实数x,y满足x?y?2x?2y?1?0,则

A．[,??)

224323[迁移] 点P是曲线y?x?x?上的动点，设点P处切线的倾斜角为?，则?的取值范

3B．[0,]

围是A、?0,

43y?4的取值范围为 （ ） x?244C．(??,?] D．[?,0)

33???????3???3????3?? B、 C、 D、0,?,?,?????,? ????2424?????????24?2．“点斜式”是直线方程的最基本形式，是其它各种形式的源头，但它不能表示斜率不存在

的直线；解决“直线过定点”的问题多用“点斜式”。“斜截式”最能体现直线的函数性质（一次函数，一次项系数是斜率），“斜截式”中所含的参数最少（2个，而其它各种形式中都是3个），所以用待定系数法求直线方程时多设为“斜截式”，它也不能表示斜率不存在的直线。

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“截距式”最能反映直线与坐标轴的位置关系；注意：截距是坐标而不是距离；在两坐标轴上截距相等的直线斜率为-1或过原点；“截距式”不能表示斜率为0、斜率不存在以及过原点的直线。“两点式”完全可以由“点斜式”替代，“两点式”不能表示斜率为0和斜率不存在的直线，但它的变形（“积式”）：(x2?x1)(y?y1)?(y2?y1)(x?x1)却能表示所有的直线。“一般式”能表示所有的直线，它是直线方程的“终极”形式。 [举例]已知直线l：kx+y-k+2=0和两点A（3，0），B（0，1），下列命题正确的是

源学_科_网Z_X_X_K][来源学科网][来（填上所有正确命题的序号）。

①直线l对任意实数k恒过点P（1，-2）；

②方程kx+y-k+2=0可以表示所有过点P（1，-2）的直线； ③当k=±1及k=2时直线l在坐标轴上的截距相等； ④若

x0?y0?1，则直线(x0?1)(y?2)?(y0?2)(x?1)与直线AB及直线l都有公共点； 3⑤使得直线l与线段AB有公共点的k的范围是[-3，1]；

⑥使得直线l与线段AB有公共点的k的范围是(??，-3]∪[1，??)。

[来源:学&科&网Z&X&X&K]

解析：①直线l：y +2= - k（x -1）恒过P（1，-2），②方程kx+y-k+2=0不能表示直线x=1，③当k= -1时直线l在坐标轴上的截距相反；④若

x0?y0?1，则点M（x0,y0）在直线AB3上（截距式），又点P（1，-2）在直线l，而直线(x0?1)(y?2)?(y0?2)(x?1)过点M，P（两点式），即与直线AB有公共点M，与直线l有公共点P；⑤⑥直线l与线段AB有公共点，不宜先解方程组再解不等式组（麻烦），数形结合易见，直线l应在直线PA到PB之间，而其间有斜率不存在的位置，故命题⑥正确。

[来源学科网][巩固]已知圆C：x2+(y-2)2=1，则在坐标轴上的截距相等且与圆相切的直线有 条？x2y2??1恒有公共点，[迁移] 对任意实数m，直线（m+2）x-(2m-1)y-(3m-4)=0和椭圆9m则m的取值范围是 。

3.“到角”的范围：（0，?），“到角公式”就是两角差的正切公式，多用于解决与角平分线

[来源:Zxxk.Com]有关的问题；“夹角”的范围：（0，

?]。两直线l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0平行、2垂直的条件有“比”和“积”两种形式（重合只有“比式”），如：l1⊥l2?A1A2+B1B2=0，若l1、l2不重合，则l1∥l2?A1B2=A2B1；判断两直线位置关系时要特别注意斜率不存在及斜率为0的情形。

[举例1]直线l1：x=1到直线l2：2x+y+1=0的角是： （ ）

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A．arctan2, B．arctan

11 C．?- arctan2 D． arctan(-)22[来源学*科*网]

解析：记直线l1到l2的角为?，直线l2的倾斜角为?，作图可见?=?-=

?，tan?=-cot? 21,故选B。 2[举例2]①已知P（x0,y0）是直线l：f(x,y)=0外一点，则直线f(x,y)+f（x0,y0）=0与直线l的位置关系是 ； ②设a、b、c分别是⊿ABC中角A、B、C的对边，则直线:

xsinA?ay?c?0与直线bx?ysinB?sinC?0的位置关系是 。

[来源:学科网ZXXK]

解析：①方程f(x,y)=0与f(x,y)+f（x0,y0）=0两变量的系数完全相同，而f（x0,y0）≠0，即常数项不同，故平行；②由正弦定理知：bsinA?asinB?0，故垂直。 [巩固]已知直线l1的方程为y=x，直线l2的方程为y=ax+b(a,b为实数)，当直线l1与l2夹角的范围为［0，

?)时，a的取值范围是：? 12，B.(0，1) ， C.(

A.(

3,1)∪(1,3) 33,3) ， D.(1,3)? 3[迁移]直线x?a2y?1?0与直线a2?1x?by?3?0互相垂直，a,b?R,则|ab|的最小值是：A．1 B．2 C．4 D．5 （ ）

4．点到直线的距离公式在求三角形的面积、判断直线与圆的位置关系、求圆的弦长、解决与圆锥曲线的第二定义有关的问题等场合均有运用，推导两平行线间的距离公式也是它的一个运用。

[举例] 已知5x＋12y＝60，则x2?y2的最小值是: A. 60 B. 13 C. 13 D. 1

13512??解析：x2?y2表示直线l：5x＋12y＝60上的动点到原点的距离，其最小值即原点到直线l的距离，选A。注：此题若代入消元、配方求最值则很麻烦。 [巩固]直线l过点（1，0），且被两平行直线3x+y-6=0和 3x+y+3=0所截得的线段长为9，则直线l的方程为 。

22[迁移] 若动点P（x,y）满足|x+2y-3|=(x?1)?(y?2)，则P点的轨迹是：

A．圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

22[提高]若a、b、c为实数，恒存在实数x,y,使得ay-bx=c(x?a)?(y?b)≠0,则a、b、

c满足: A.c≥a+b B.c>a+b C.c

5.点M(m,n)关于直线y=±x+b的对称点M’(±n?b，±m+b)，即：将M点的坐标代入对称轴

//

方程求得M的坐标；但对称轴斜率不为±1时，只可根据中、垂建立方程组(即MM与对称轴垂直且其中点在对称轴上)，解出对称点坐标。光线反射问题、角平分线问题、到两定点距离之和（差）的最值问题等都与对称有关。

[举例1]将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A（0，2）与点B（4，0）重合，

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222222222222

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若此时点C（7，3）与点D（m，n）重合，则m+n的值是 。 解析：“折痕”是AB的中垂线l：y=2x-3，C（7，3）、D（m，n）关于l对称，则：

3??n?3m??7?m?3??34?2?5m+n=。 ????n?31315??n?????25?m?7?[举例2]在⊿ABC中，已知A（2，3），角B的平分线为Y轴，角C的平分线为l：x+y=4,求BC边所在的直线方程

解析：由题意知直线BA、BC关于Y轴对称，即A关于Y轴的对称点A1(-2,3)在直线BC上；直线CA、CB关于l对称，即A关于l的对称点A2(1,2)在直线CB上；∴直线BC即直线A1A2：x+3y-7=0,

[巩固]已知点A在x轴上，点B在直线l：y=x上，C（2，1），则⊿ABC的周长的最小值为 。

[来源:学科网ZXXK]?x?5?2cosa ，一束光线从点A出

[迁移] 已知点A(1、1)，曲线C上的点(x、y)满足：??y?7?2sina发经y轴反射到曲线C上的最短路程是： （ ）

A 62?2 B 52?2 C 8 D 10 6.不等式ax+by+c>0(a>0)所表示的区域为直线ax+by+c=0的右侧，不等式ax+by+c<0(a>0)所表示的区域为直线ax+by+c=0的左侧；a﹤0时情况相反。也可以说：不等式ax+by+c>0(b>0)所表示的区域为直线ax+by+c=0的上方，不等式ax+by+c<0(b>0)所表示的区域为直线ax+by+c=0的下方；b﹤0时情况相反。目标函数z=mx+ny(m>0)在“可行域”D内的最值：令mx+ny=0, 在“可行域”D内平移直线mx+ny=0使之位于最左侧，此时z取得最小值; 位于最右侧，此时z取得最大值;m<0时情况相反。如果z=mx+ny(n>0), 也可以说：在“可行域”D内平移直线mx+ny=0使之位于最下方，此时z取得最小值; 位于最上方，此时z取得最大值;n<0时情况相反。若线性目标函数的最优解不止一个，则目标函数为0的直线与“可行域”的一个边界平行或重合。 [举例] 已知x,y满足约束条件： 2x-y≥0,x+y-2≥0,6x+3y≤18,

且z=ax+y(a>0)取得最小值的最优解 有无穷多个, 求a的值。

解析：要使目标函数取得最小值的最优解 有无穷多个，令ax+y=0并平移使之与过 点C（

24,）（可行域中最左侧的点）的边界 33重合即可，注意到a>0，只能和AC重合，∴a=1

[举例2]已知点P(3,-1)和Q(-1,2)，直线l：ax+2y-1=0与线段PQ有公共点，则实数a的取值范围为：

A.1≤a≤3 B.a≤1或a≥3 C.a≤1 D.a≥3

[来源学科网]解析：本题可参照“3[举例]⑤⑥”的做法，确定直线l的斜率的范围。现在用不等式所表示的区域解决：直线l与线段PQ有公共点即点P、Q在直线l的两侧或在直线l上，记：

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f (x,y)= ax+2y-1,则f(3,-1)f(-1,2) ≤0,解得：a≤1或a≥3，选B。“3[举例]⑤⑥”也可照此办理。

[巩固1] 已知x,y满足约束条件：2x-y≥0,x+y-2≥0,6x+3y≤18,且z=ax+y取得最大值的最优解恰为（

3,3），则a的取值范围是 。 2[巩固2]点（-2，t）在直线2x-3y+6=0的上方，则t的取值范围是 。

[迁移] 双曲线x2-y2=1右支上一点P（a,b）到直线y=x的距离为2，则a+b的值是( ) A. -

11111 B. C. -或 D.2或22222

[来源学科网]7．关注“线性规划”问题的各种“变式”：①“可行域”由不等式和方程共同确定（为线段或射线），②“约束条件”由二次方程的“区间根”间接提供，③“约束条件”非线性，④目标函数非线性，如：

x?a22（斜率），(x?a)?(y?b)（距离）等。 y?b[举例] 实系数方程x?ax?2b?0的一个根大于0且小于1，另一个根大于1且小于2，则

2b?2的取值范围是 a?12[来源:学科网ZXXK]

A

解析：f(x)=x?ax?2b，数形结合容易得到使实系数方程

x2?ax?2b?0的两根分别在(0，1)和(1，2)内当且仅当：

?f(0)?0?b?0???f(1)?0 ??1?a?2b?0点P（a，b）的可行域如右， ?f(2)?0?4?2a?2b?0??记A（1，2），线段PA的斜率为kPA，kPA=

1b?2∈[,1]。 a?14[巩固] 若x,y满足:x+y-3≥0,x-y+1=0,3x-y-5≤0,设y=kx,则k的取值范围是________

222

[提高] 已知不等式ax+bx+a<0(ab>0)的解集是空集，则a+b-2b的取值范围是 。

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简答

1．[巩固1][0,?4]∪[3?9,?)，[巩固2]A，[迁移]B；2、[巩固]3，[迁移](,9)?(9,??)；423、[巩固]C， [迁移]B；4、[巩固]4x+3y-4=0或x=1；[迁移]将条件变形为：

(x?1)2?(y?2)2?5，由圆锥曲线的统一定义知P点轨迹为双曲线；[提高] 将条件

|x?2y?3|5ay?bx?(x?a)2?(y?b)2，问题转化为：直线ay?bx?cr和圆 c变形为：

(x?a)2?(y?b)2?r2的公共点，于是有：

|ab?ba?cr|a2?b2?r 即：c2≤a2+b2；

2，[迁移]B， 35、[巩固]10 ，[迁移]A；6、[巩固1] -2?a?2，[巩固2]t>7、[巩固] [

4222

，2]，[提高] 不等式ax+bx+a<0(ab>0)的解集是空集等价于：b-4a≤0且32

2

2

2

2

2

a>0，b>0 得（b+2a）（b-2a）≤0，且a>0，b>0即：b+2a与b-2a异号且a>0，b>0 不难画出点P（a，b）的可行域，记A（0，1），|PA|= a+（b-1）, a+b-2b=|PA|-1， |PA|的最小值即A点到直线b-2a=0的距离为

4522

。故:a+b-2b∈[?,??)

55

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