分式全章教案(3)

检验：把x=10代入x(x-7)，得

10×（10-7）≠0

所以，x=10是原方程的解.

例3某校招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩？

解 设乙每分钟能输入x名学生的成绩，则甲每分能输入2x名学生的成绩，根据题意得

26402640?2?60. ＝

2xx解得 x＝11.

经检验，x＝11是原方程的解.并且x＝11，2x＝2×11＝22，符合题意. 答：甲每分钟能输入22名学生的成绩，乙每分钟能输入11名学生的成绩.

练 习

1. 解方程：

435?（1）＝1； （2）. x?1x?3x?12. 解方程：

1111?x?3＝（1）＝； （2）. x?2x?12x?22?x3. 电视机、摄像机等电器的电路中有许许多多的元件，它们都具有电阻.如图所示，当两个电阻R1、R2并联时，总电阻R满足

111.若R1＝10欧，R2＝15欧，求＝＋RR1R2总电阻R.

4. 求解本章导图提出的问题.

习题17.3 1. 解方程：

23xx?22x5x?11???（1）?；（2）；（3）；（4）.

xx?1x?6x?32x?55x?2x?2x?22. 供电局的电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修.技术工人骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载着所需材料出发，结果他们同时到达.已知抢修车的速度是摩托车的1.5倍，求这两种车的速度.

3. 某大商场家电部送货人员与销售人员人数之比为1︰8.今年夏天由于家电购买量明显增多，家电部经理从销售人员中抽调了22人去送货.结果送货人员与销售人员人数之比为2︰5.求这个商场家电部原来各有多少名送货人员和销售人员.

你知道吧吗？

The symbol 5! is called five factorial(阶乘)and means 5·4·3·2·1；thus5!=120.

(n?1)!What’s the result of？Do you know?

n!§17.4 零指数幂与负整指数幂

1.零指数幂与负整指数幂

在§13.1中介绍同底数幂的除法公式am÷an=am-n时，有一个附加条件：m＞n，即被除数的指数大于除数的指数.当被除数的指数不大于除数的指数，即m=n或m＜n时，情况怎样呢？ 探 索

先考察被除数的指数等于除数的指数的情况.例如考察下列算式： 52÷52，103÷103，a5÷a5(a≠0).

一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得

52÷52＝52-2＝50， 103÷103＝103-3＝100， a5÷a5＝a5-5＝a0(a≠0).

另一方面，由于这几个式子的被除式等于除式，由除法的意义可知，所得的商都等于1. 概 括

由此启发，我们规定：

50=1，100=1，a0=1（a≠0）.

这就是说：任何不等于零的数的零次幂都等于1. 探 索

我们再来考察被除数的指数小于除数的指数的情况，例如考察下列算式：

52÷55， 103÷107，

一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得

52÷55＝52-5＝5-3， 103÷107＝103-7＝10-4.

另一方面，我们可利用约分，直接算出这两个式子的结果为

152525÷5＝5＝23＝3，

55?552

5

110310310÷10＝7＝3＝.

1041010?1043

7

概 括

由此启发，我们规定：

5-3＝

一般地，我们规定

11-4， 10＝. 345101(a≠0，n是正整数) an这就是说，任何不等于零的数的－n （n为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数.

例1计算：

a?n??1?（1）3； （2）???10?1

?3?-2

0解（1）3-2＝

011＝. 29311?1?（2）???10?1＝1×1＝.

1010?3?

例2 用小数表示下列各数：

（1）10-4； （2）2.1×10-5.

1解 （1）10-4＝4＝0.0001.

101（2）2.1×10-5＝2.1×5＝2.1×0.00001＝0.000021.

10探 索

现在，我们已经引进了零指数幂和负整指数幂，指数的范围已经扩大到了全体整数.那么，在§13.1“幂的运算”中所学的幂的性质是否还成立呢？与同学们讨论并交流一下，判断下列式子是否成立.

（1）a2?a?3?a2?(?3)； （2）(a·b)-3=a-3b-3； （3）(a-3)2=a(-3)×2 (4) a2?a?3?a2?(?3)

2.科学记数法

在§2.12中，我们曾用科学记数法表示一些绝对值较大的数，即利用10的正整数次幂，把一个绝对值大于10的数表示成 a×10n的形式，其中n是正整数，

5

1≤∣a∣＜10.例如，864000可以写成8.64×10.

类似地，我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较 小的数，即将它们表示成a×10-n的形式，其中n是正整数，1≤∣a∣＜10.例如，

-5

上面例2（2）中的0.000021可以表示成2.1×10.

例3 一个纳米粒子的直径是35纳米，它等于多少米？请用科学记数法表示.

11分析 在七年级上册第66页的阅读材料中，我们知道：1纳米＝9米.由9＝

101010-9可知，1纳米＝10-9米.所以35纳米＝35×10-9米.

而35×10-9＝（3.5×10）×10-9

＝35×101＋（－9）＝3.5×10-8，

所以这个纳米粒子的直径为3.5×10-8米.

练习

1. 计算：

?1??1?（1）（-0.1）；（2）?（3）2-2；（4）??. ?；

?2003??2?0

0?22. 用科学记数法填空：

（1）1秒是1微秒的1000000倍，则1微秒＝_________秒； （2）1毫克＝_________千克；

（3）1微米＝_________米； （4）1纳米＝_________微米； （5）1平方厘米＝_________平方米； （6）1毫升＝_________立方米. 3. 用科学记数法表示： （1）0.000 03；（2）-0.000 0064；（3）0.000 0314；（4）2013 000. 4. 计算下列各式，并且把结果化为只含有正整指数幂的形式： （1）(a-3)2(ab2)-3； （2）(2mn2)-2(m-2n-1)-3. 习题17.4 1. 计算：

?1?（1）5÷25； （2）（-117）； （3）4； （4）???.

?4?10

4

0

-2

?22. 计算下列各式，并且把结果化为只含有正整数指数幂的形式： （1）(x-3yz-2)2；（2）(a3b-1)-2(a-2b2)2；（3）(2m2n-3)3(-mn-2)-2. 3. 已知空气的单位体积质量是0.001 239克/厘米3，试用科学记数法表示.（单位

3

仍用克/厘米）

小 结

一、知识结构

二、注意事项

1. 分式的基本性质及分式的运算与分数的情形类似，因而在学习过程中， 要注意不断地与分数情形进行类比，以加深对新知识的理解.

2. 解分式方程的思想是把含有未知数的分母去掉，从而将分式方程转化为 整式方程来解，这时可能会出现增根，必须进行检验.学习时，要理解增根产生的原因，认识到检验的必要性，并会进行检验.

3. 由于引进了零指数幂与负整指数幂，绝对值较小的数也可以用科学记数 法来表示.

复习题

A组

1. 填空：

（1）若某梨园m平方米产梨n千克，则平均每平方米产梨__________千克； （2）某工厂原计划a天完成b件产品，若现在需要提前x天完成，则现在每天要比原来多生产产品__________件；

（3）德国著名物理学家普朗克发现：能量子＝h×频率.这里的h被称为普朗克常数，约为0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 663焦·秒，用科学记数可简洁地记为__________焦·秒；

(4)一种细菌的半径是4×10-5米，用小数表示为__________米. 2. 计算：

?1?（1）??1?； （2）0.01-1；

?7?（3）5-2； （4）（-0.1）-2. 3. 把下列各数用科学记数法表示：

（1）100 000； （2）0.000 01； （3）-112 000； （4）-0.000 112. 4. 把下列各有理式分别填入相应的圈中：

113aab1x(x?y)??y. ，，，0，，，2x5?x32c2

整式 分式

5. 写出下列各等式中未知的分子或分母：

??11?x2（1）＝； （2）＝；

x?1c2?7cc?7(x?1)20

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