分式全章教案

第17章 分 式 ............................................................................................................................. 2

§17.1 分式及其基本性质 ........................................................................................................ 2

1.分式的概念 .................................................................................................................... 2 2.分式的基本性质 ............................................................................................................ 3 §17.2分式的运算 ..................................................................................................................... 5

1.分式的乘除法 ................................................................................................................ 5 2.分式的加减法 ................................................................................................................ 6 阅读材料 ................................................................................................................................... 8 §17.3可化为一元一次方程的分式方程 ................................................................................. 9 §17.4零指数幂与负整指数幂 ............................................................................................... 12

1.零指数幂与负整指数幂 .............................................................................................. 12 2.科学记数法 .................................................................................................................. 13 小 结..................................................................................................................................... 14 复习题..................................................................................................................................... 15

第17章 分 式

现要装配30台机器，在装配好6台后，采用了新的技术，每天的工作效率提高了一倍，结果共用了3天完成任务。如果设原来每天能装配x台机器，那么不难列出方程：

630?6??3 x2x

这个方程左边的式子已不再是整式，这就涉及到分式与分式方程的问题.

§17.1 分式及其基本性质

1.分式的概念

做一做

（1）面积为2平方米的长方形一边长3米，则它的另一边长为_____米； （2）面积为S平方米的长方形一边长a米，则它的另一边长为________米； （3）一箱苹果售价p元，总重m千克，箱重n千克，则每千克苹果的售价是______元；

A形如(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子，叫做分式(fraction).

B其中 A叫做分式的分子(numerator),B叫做分式的分母（denominator）.

整式和分式统称有理式（rational expression）, 即有

整式，

有理式 分式.

例1 下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？

（1）

1x3x?y2xy；（2）；（3）；（4）.

3x2x?y解：属于整式的有：（2）、（4）；属于分式的有：（1）、（3）.

注意：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义.

S9例如，在分式中，a≠0；在分式中，m≠n.

m?na

例2 当x取什么值时，下列分式有意义？

1x?2（1）；（2）.

x－12x?3分析 要使分式有意义，必须且只须分母不等于零. 解 （1）分母x－1≠0，即x≠1.

1所以，当x≠1时，分式有意义.

x－13（2）分母2x?3≠0，即x≠-.

23x?2所以，当x≠-时，分式有意义.

22x?3

2.分式的基本性质

在进行分数的化简与运算时，常要进行约分和通分，其主要依据是分数的基本性质.类似地，分式有如下基本性质：

分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.

与分数类似，根据分式的基本性，可以对分式进行约分和通分. 例3 约分

x2?4?16x2y3（1）； （2）2

x?4x?420xy4分析 分式的约分，即要求把分子与分母的公因式约去.为此，首先要找出

分子与分母的公因式.

4x?16x2y34xy3?4x解（1）＝－＝－. 345y4xy?5y20xyx?2x2?4(x?2)(x?2)（2）2＝＝.

x?2x?4x?4(x?2)2约分后，分子与分母不再有公因式. 分子与分母没有公因式称为最简分式.

例4 通分 （1）

1111，； （2），； ab2a2bx?yx?y（3）

11，. 222x?yx?xy分析 分式的通分，即要求把几个异分母的分式分别化为原来的分式相等的

同分母的分式.通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的

1最高次幂的积作为公分母（叫做最简公分母）.例如第（1）小题中的两个分式2ab1和2，它们的最简公分母是a2b2. ab11解 （1）2与2的最简公分母为a2b2，所以

abab11?bb＝＝， a2ba2b?ba2b21?a1a＝＝. 2222ab?aabab（2）

11与的最简公分母为（x-y）(x+y)，即x2－y2，所以 x?yx?y11（?x?y）x?y＝＝2， x?y(x?y)(x?y)x?y21?(x?y)x?y1＝＝2. 2(x?y)(x?y)x?yx?y（3）因为 x2－y2＝________________,

x2＋xy＝________________, 所以

11与的最简公分母为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，因此

x2?y2x2?xy1＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿， 22x?y1＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

x2?xy练 习 1. 约分：

?2a(a?b)2ax2y(a?x)2x2?4（1）； （2）； （3）； （4）.

3b(a?b)xy?2y3axy2(x?a)32. 通分： （1）

1115，； （2），. 3x2x2?xx2?x12xy3. 军训期间，小华打靶的成绩是m发9环和n发7环，请问，小华的平均成绩是每发多少环？ 习题17.1

1. 用分式填空：

（1） 小明t小时走了s千米的路，则他走这段路的平均速度是＿＿＿＿千

米/时；

（2） 一货车送货上山，上山速度为x千米/时，下山速度为y千米/时，则

该货车的平均速度为＿＿＿＿千米/时.

2. 指出下列有理式中，哪些是分式？

11xx4x?9y2 ， （x+y）， ， ， ，

x?313x23m?x3. 当x取什么值时，下列分式有意义？

1x?2x?24x（1）； （2）； （3）； （4）.

4x?12xx?23x?54. 通分：

cab1?1（1）、、； （2）2，2.

abbcacx?2x?1x?x5. 某机械厂欲成批生产某种零件，第一道工序需要将一批长l厘米、底面半径为2r厘米的圆钢锻造成底面半径为r 厘米的圆钢.请问锻造后的圆钢长多少厘米？

§17.2 分式的运算

1.分式的乘除法

试一试 计算：

a22b2a2a（1）3?； （2）3?.

b2bb3aa22b2a2?2b22a解 （1）3?=3=.

b?3a3bb3aa2aa22b2a （2）3?=3?=2.

b2bba2b概括

分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简.

分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. 例1计算：

a2xya2yza2xay2（1）2?2； （2）22?22.

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