2010届高考名校数学模拟试题压轴大题参考答案(4)

n2?(?1)nnn而当n?3时，2n?n?1显然也成立，故?42?14?n?12nn(n?3)

?726当n?4时，令T又令A?12A?12524?52?15?62?16???n2?(?1)?524?625???n?12n

?625?72?6???n?12n2n

n?12n?1① ②

n?152A?562?6????126n?

n?12①－②：

523524125???12n?

?A??124?125???12n?11n?4[1?()]n?1516n?132?????nn128241?21∴ T?34

?C3?12?112?12?15764336937037∴ 所证式子左边??? ??35414014014又C1?C2?22?33?1?2?3?6435

即

14b1?(?1)?24b2?(?1)2?34b3?(?1)3???n4bn?(?1)n?3714

14解：（I）因为an?2n,则有an?1?an?2,n?N* 故数列{an}是“M

1,2类数列”， 对应的实常数分别为

． ???????????2分

因为bn?3?2n，则有bn?1?2bn n?N* 故数列{bn}是“M

2,0类数列”， 对应的实常数分别为

． ???????????4分

，

（II）（1）因为 an?an?1?3t?2n(n?N*) 则有a2?a3?3t?22a4?a5?3t?2??a2006?a2007?3t?2a2008?a2009?3t?24，

，

????????????.6分

20062008故数列{an}前2009项的和

S2009?a1+

?a2?a3?+?a4?a5????+?a2006?a2007?+?a2008?a2009?

?2?3t?22?3t?24????3t?22006?3t?22008?2?t?22010?4???????9分

若数列{an}是“M类数列”， 则存在实常数p,q 使

得

an?1?pan?q对于任意

n?N*都成

立，????????????????.10分 且有an?2?pan?1?q对于任意n?N*都成立，

因此?an?1?an?2??p?an?an?1??2q对于任意n?N*都成立， 而an?an?1?3t?2n(n?N*)，且an?1?an?2?3t?2n?1(n?N*)

则有3t?2n?1?3t?p2n?2q对于任意n?N*都成立，可以得到

t(p?2)?0,q?0，???????????????12分

①当p?2,q?0时，an?1?2an，an?2n，t?1，经检验满足条件. ②当t?0,q?0 时，an?1??an，an?2(?1)n?1，p??1经检验满足条件. 因此当且仅当t?1或t?0，时，数列?an?也是“M类数列”.对应的实常数分别

为

2,0, 或

?1,0． ????????????????????????14

分

15解：（Ⅰ）由题意，得f?e??pe?化

简

，

qe?2lne?qe?pe?2，

??1???0e?得

?p?q??e?，

?p?q. ????????????????????????2分

px?2lnx（Ⅱ）函数f?x?的定义域为?0,???.由（Ⅰ）知，f?x??px?f??x??p?px2，

?2x?px2?2x?px2. ??????????????????

????????3分

令h?x??px2?2x?p，要使f?x?在其定义域?0,???内为单调函数，只需h?x?在

?0,???内满足h?x??0或h?x??0恒成立.

（1）当p?0时，h?x???2x?0，?f??x??0.

?f?x?在?0,???内为单调减函数，故

p?0符合条

件. ???????????????????4分 （2）当p?0时，h?x?min时f??x??0.

?f?x??1?1??h??p???p?p?.只需p?1p?0，即p?1时h?x??0，此

在?0,???内为单调增函数，故

p?1符合条

件. ??????????????????6分

（3）当p?0时，h?x?max?h?0??p.只需p?0，此时f??x??0.

?f?x?在?0,???内为单调减函数，故p?0符合条件.

综上可

2ex得,

p?1或

p?0为所

求. ???????????????????????????8分 （Ⅲ）?g?x??g?x?max?2e在?1,e?上是减函数，?x?e时，g?x?min?2；x?1时，

.

即

g?x???2,2e?. ????????????????????????????

???????9分

（1）当p?0时，由（Ⅱ）知，f?x?在?1,e?上递减，f?x?max?f?1??0?2，不合题意. ???10分 （

x?12）当

0?p?1时，由

x??1,e?知，

1?1??0.?f?x??p?x???2lnx?x??2lnx. xx?x?x?1x?2lnx由（Ⅱ）知，当p?1时，f?x???f?x??x?1x?2lnx?e?1e?2?2单调递增，

不

合

题

，

意. ???????????????????12分

（3）当p?1时，由（Ⅱ）知f?x?在?1,e?上递增，f?1??0?2，

又g?x?在在?1,e?上递减，?f?x?max?g?x?min?2. 即p?e???2lne?2，?p??e??4e?1?4ee?12.

综上，p的取值范围是?16解：（1）f(??,???.??????????????????? 2e?1??)、f(?)在???上均为单调递增的函数. ??

13?0,?4??1分

对于函数f1(?)?sin??cos?，设

，则

?1??2,??,??1、?2??0?4??

f1(?1)?f1(?2)??sin?1?sin?2???cos?2?cos?1?，

?sin?1?sin?2,cos?2?cos?1，

?f1??1??f1??2?,?函数

f1(?)在

???上

单

?0,?4??增. ?? 3分

（2）? 原式左边

?2?sin6??cos6????sin4??cos4?? ?2?sin2??cos2???sin4??sin2??cos2??cos4????sin4??cos4??

?1?sin22??cos22?. 分

又?原式右边??cos2??sin2??2?cos22?.

? 2f6(?)?f4(?)??cos4??sin4???cos2??sin2??. 6分

（3）当n?1时，函数f1(?)在???上单调递增，

?0,?4?? ?

f1(?)的最大值为

，最小值为f???f1?0???1.

1??4??0? 当n?2时，

f2????1，? 函数f2(?)的最大、最小值均为

1.

当n?3时，函数f3(?)在???上为单调递增.

?0,?4?? ?

f3(?)的最大值为

，最小值为f???f3?0???1. 3?4??0?? 当n?4时，函数f?14(?)?12sin22?在?

?0,??上单调递减，?4?? ?

f4(?)的最大值为f4?0??1，最小调

递

?? 5

??

值为

???1f4????4?2. ?? 9分

下面讨论正整数n?5的情形： 当n为奇数时，对任意? ?

?1、?2??0,4???n??且?1??2,

fn(?1)?fn(?2)?sin?1?sin?21?n???cosn?2?cos?1n?，

.

以及 0?sin? ? sinn? ?

1?sin?2?1,n0?cos?2?cos?1?1，

n?sin?2,cos?2?cos?1n，从而

fn(?1)?fn(?2)fn(?)在???0,?4???上为单调递增，则 大

值

为

，

最

小

值

为

fn(?)的最

???fn???0?4?f4?0???1. ?? 11

分

n22 当n为偶数时，一方面有

fn(?)?sin??cos??sin??cos??1?fn(0)n.

另一方面，由于对任意正整数l?2，有 2f(?)?f(?)??cos2l?2??sin2l?2???cos2?2l2l?2?sin?2??0，

?fn(?)?12fn?2(?)???1n22?1f2(?)?1n22?1????fn???4?.

? 函数f(?)的最大值为f(0)?1，最小值为nn????1?fn???2???4??2?n.

综上所述，当n为奇数时，函数 当

?1?2???2?nfn(?)的最大值为0fn(?)，最小值为?1.

n为偶数时，函数

的最大值为1，最小值为

. ?? 13分

122rrrnnx?Cnx?????Cn(?1)x????Cnx] 17解答（1）f(x)?x2n?1[Cn0?Cn=x2n?1(1?x)n，??1分

2n?2n2n?1f?(x)?(2n?1)x(1?x)?x?n(1?x)=

x2n?2(1?x)n?1[2n?1?(3n?1)x]。??2分

令f?(x)?0

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