2010届高考名校数学模拟试题压轴大题参考答案

2009——2010年高考模拟压轴大题选编(五)参考答案

1解：（Ⅰ）依题意，Sn?1?Sn?an?1?Sn?3n，即Sn?1?2Sn?3n， 由此得Sn?1?3n?1?2(Sn?3n)．

因此，所求通项公式为bn?Sn?3n?(a?3)2n?1，n?N*．????????5分

（Ⅱ）证明：由已知cn?3log21cn13n?2bna?3?1?3log2(a?3)2n?1(a?3)?1?3n?2，

则1?1c1?1?，所以

1cn1413n?2(1?)(1+1c2)???(1+)?(1?1)(1?)???(1?).????????7分

下面用数学归纳法证明不等式

(1?1c1)(1+1c2)???(1+1cn2)?(1?1)(1?143)???(1?13n?2)?33n?1成立.

①当n?1时,左边=,右边=4,因为2?34,所以不等式成

立. ???????8分

②假设当n?k时不等式成立,即

(1?1c1)(1+1c2)???(1+1ck)?(1?1)(1?14)???(1?13k?2)?33k?1成立.

则当n?k?1时,左边 =(1?1c1)(1+1c2)???(1+1ck)(1?1ck?1)?(1?1)(1?14)???(1?13k?2)[1?13(k?1)?2]

?33k?1?[1?13(k?1)?2)]

?33k?1?(3k?23k?13

?3(3k?2)(3k?1)2．?????????????????????????????11分 要证3(3k?2)(3k?1)32?33(k?1)?1成立，

只需证

(3k?2)(3k?1)32?3k?4成立，

由于(3k?1)2?0，

只需证(3k?2)3?(3k?4)(3k?1)2成立，

只需证27k3?54k2?36k?8?27k3?54k2?27k?4成立， 只需证9k?4?0成立，

由于k?N*，所以9k?4?0成立． 即(1?1c1)(1+1c2)???(1+1ck)(1?1ck?1)13(k?1)?2

]?3?(1?1)(1?14)???(1?13k?2)[1?3(k?1)?1成立.

所以当n?k?1时,不等式也成立. 由①，②可得不等式立. ????????????????????????14分

恒成

2解：（Ⅰ）记数列①为?bn?，因为b2,b3,b4,b5,b6与b6,b7,b8,b9,b10按次序对应相等，所以数列①是“5阶可重复数列”，重复的这五项为0,0,1,1,0;

记数列②为?cn?，因为c1,c2,c3,c4,c5、c2,c3,c4,c5,c6、c3,c4,c5,c6,c7、c4,c5,c6,c7,c8、

c5,c6,c7,c8,c9、c6,c7,c8,c9,c10没有完全相同的，所以?cn?不是“5

阶可重复数列”.

??????.3分

（Ⅱ）因为数列{an}的每一项只可以是0或1，所以连续3项共有23?8种不同的

情形.若m＝11，则数列{an}中有9组连续3项，则这其中至少有两组按次序对应相等，即项数为11的数列{an}一定是“3阶可重复数列”；若m＝10，数列0,0,1,0,1,1,1,0,0,0不是“3阶可重复数列”；则3?m?10时，均存在不是“3阶可重复数列”的数列{an}.所以，要使数列{an}一定 是“3阶可重复数列”，则11. ??????.8分

m

的

最小

值

是

（III）由于数列?an?在其最后一项am后再添加一项0或1，均可使新数列是“5

阶可重复数列”，即在数列?an?的末项am后再添加一项0或1，则存在i?j， 使得ai,ai?1,ai?2,ai?3,ai?4与am?3,am?2,am?1,am,0按次序对应相等，或aj,aj?1,aj?2,aj?3,aj?4与am?3,am?2,am?1,am,1按次序对应相等，

如果

a1,a2,a3,a4与

am?3,am?2,am?1,am不能按次序对应相等，那么必有

2?i,j?m?4，i?j，使得ai,ai?1,ai?2,ai?3、aj,aj?1,aj?2,aj?3与am?3,am?2,am?1,am按次序

对应相等.

此时考虑ai?1,aj?1和am?4，其中必有两个相同，这就导致数列?an?中有两个连续的五项恰按次序对应相等，从而数列?an?是“5阶可重复数列”，这和题设中数列?an?不是“5阶可重复数列”矛盾！所以a1,a2,a3,a4与am?3,am?2,am?1,am按次序对应相等，从而am?a4?1.

????.14分

说明：其它正确解法按相应步骤给分.

3解：（Ⅰ）当a?0时，f(x)?2x在[1,??)上是单调增函数，符合题意．???

1分

当a?0时，y?f(x)的对称轴方程为x??2a，

由于y?f(x)在[1,??)上是单调增函数， 所以?所

a?0． ????????3

2a?1，解得a??2或a?0，

以

分

当a?0时，不符合题意． 综

上

，

a的取分

值范围是

a?0． ????????4

（Ⅱ）把方程

即

g(x)x?f?(x)?(2a?1)整理为

lnxx?ax?2?(2a?1)，

为方程

ax?(1?2a)x?lnx?02. ????????5分

设H(x)?ax2?(1?2a)x?lnx (x?0)，

原方程在区间(,e)内有且只有两个不相等的实数根, 即为函数H(x)在

e1区间(

1e,e)内有且只有两个零

点. ????????6分

H?(x)?2ax?(1?2a)?21x

?(2ax?1)(x?1)x ?分

2ax?(1?2a)x?1x ???????7

令H?(x)?0，因为a?0，解得x?1或x??8分

12a（舍） ???????

当x?(0,1)时, H?(x)?0, H(x)是减函数；

当x?(1,??)时, H?(x)?0，H(x)是增函数. ???????

10分

H(x)在(

1e,e)内有且只有两个不相等的零点, 只需

??H??H?H??1()?0,e(x)min?0, ??????(e)?0,?13分

22?e?e?a1?2a(1?2a)e?a?e,?1??0,?a??2?22e?1eee????即?H(1)?a?(1?2a)?1?a?0, ∴?a?1,??221?eae?(1?2a)e?1?(e?2e)a?(e?1)?0,?a?2?,e?2e????

解

e?e2e?12得

1?a?e?e2e?12, 所以

a的取值范围是

(1,) ． ???????14分

注：若有其它解法，请酌情给分． 4解：（Ⅰ）f(1)?f(0)?55?x55?5551?x?51?5=1；

55?55?xxf(x)?f(1?x)=

5?=

5?5?x5?=1；???????

5?5?????４分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

f(km)?f(m?km)?1 , ?ak?am?k?1,

f(km)?f(1?km)?1 (1?k?m?1),即

由Sm?a1?a2?a3???am?1?am, ?????① 得Sm?am?1?am?2?am?3???a1?am, ????② 由

①

12＋②,

125?4得

52Sm?(m?1)?1?2am,∴

Sm?(m?1)??f(1)?(m?1)??，?10分

（Ⅲ） ∵b1?∴

1bn?1?112,bn?1?bn?bn?bn(bn?1),∴对任意的n?N*, bn?0.

2bn(bn?1)11b2?1bn?1bn?1,即

1bn?1?1bn?1bn?1.

1bn?1∴Tn?(b1?)?(1b2?1b3)???(1bn?1bn?1)?1b1?1bn?1?2?.

∵bn?1?bn?b2?0, ?bn?1?bn,∴数列{bn}是单调递增数列. n∴Tn关于n递增. 当n?3, 且n?N?时, Tn?T3. ∵b1?12,b2?11333212121777(?1)?, b3?(?1)?,b4?(?1)?22444161616256

∴Tn?T3?2?1b4?2?256777.∴4Sm?777T3?5, ∴m?650.5.而m为正整数，

m∴的最大值为

650. ???????????????????????????????1４分

5解：（1）由已知过An(xn,yn)斜率为?xn?1x?4xn2n的直线为

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