第八章控制系统的状态空间分析与综合(8)

图8-15 全维状态观测器 显然，这个重构系统是以原系统的可量测变量u和y为输入的一个n维线性定常系统，其中有待确定的系数矩阵只有G。下面就要来论证，被估计系统?0?(A,b,c)在满足一定的条件下，通过适当的选取增益矩阵G，可使这个重构系统成为给定系统的一个全维状态观测器。

从图8-15（a）可以导出，按上述方式所构成的全维状态观测器的动态方程为

???Ax??Bu?G(y?Cx?), x?(0)?x?0 （8-112） x?)起到了反馈作用。而且，由比较式（8-112）和式（8-110）还可看出，其中修正项G(y?Cx此状态观测器在维数上显然等同于被估计系统，两者唯一的差别仅在于式（8-112）中引入

?)。为了说明引入此修正项的作用，不妨来讨论当式（8-112）中去掉此了修正项G(y?Cx修正项后可能产生的问题。可以看出，如此得到的观测器就是对被估计系统的直接复制，即为

???Ax??Bu, x?(0)?x?0 （8-113） x?0?x0，因此，一般地说同样可以达到重构状态的目的。并且，如果进而能做到使初始状态x?(t)?x(t)，即实现完全的状态重构。但是，这种开环则理论上可实现对所有t?0均成立x型的观测器实际上是难以应用的，它的两个主要的缺点是：第一，每次用这种观测器前都必

?0使之等同于x0，这显然是不方便的；第二，更为严重的是，如果系数矩须设置初始状态x?0和x0间的很小偏差，也会导致随着t的增加而使阵A包含不稳定的特征值，那么即使x?)就是为了克服这些问题而引入的。 ?(t)和x(t)偏差愈来愈大。修正项G(y?Cxx进一步考虑到y?Cx，并将其代入式（8-112），则此种全维状态观测器的动态方程可

表为

???(A?GC)x??Bu?Gy, x?(0)?x?0 （8-114） x相应的观测器的结构图如图8-15（b）所示。

?为实际状态和估计状态间的状态误差矢量，那么利用式（8-110）和式x?x?x 定义~x所应满足的动态方程为 （8-114）就可导出状态误差矢量~~?0 （8-115） x(0)?~x0?x0?x这表明，不管初始误差~x0为多大，只要使矩阵(A?GC)特征值均具有负实部，那么一定

可作到使成立

?(t)?limx(t) limxt??t????(A?GC)~ ~xx,即实现状态的渐近重构。进而，如果可通过选择增益阵G而使(A?GC)特征值任意配置，

x(t)的衰减快慢是可以被控制的。显然，若(A?GC)特征值均远离虚轴，则可使重构状则~?(t)很快地趋于实际状态x(t)。 态x 325

下面，我们来给出可对全维状态观测器（8-114）进行任意极点配置的条件。

结论 若线性定常系统?0?(A,b,c)是能观的，则必可采用由式（8-114）所表述的全维状态观测器来重构其状态，并且必可通过选择增益阵G而任意配置(A?GC)的全部特征值。

[例8-12] 已知系统

0? x????1?00??x???1??1??u

y??2?1?x设计状态观测器使其极点为?10,?10。

解 （1）检验能观性 显然N???C??2?1??CA?????20??满秩，系统能观，可构造观测器。 （2）将系统化为能观标准型

系统特征多项式为 det?[I?A]?de??t??10??0?????2?? 即a1??1,a0?0，则

T?1o???1a1??CA??01????C?????1?1??20??01????2?1?????01??2?1?? ?11? To???22?

?10??（3）引入反馈增益阵G???g0??g??得观测器特征多项式

1 f(?)??I?(A?GC)??2?(1?g1)??g0

（4）根据期望极点得期望特征多项式

f?(?)?(??10)(??10)??2?20??100

（5）比较f(?)与f?(?)各项系数得

g0?100,g1?21

即 G???100??21?? （6）反变换到x状态下

?11? G?ToG???22??100??60?10????.5??? ?21??100?? （7）观测器方程为

x???(A?GC)x??Bu?Gy????12060.5??1??60.5???200100??x????1??u???100??y

模拟结构图如图8-16所示

326

图 8-16 例8-12系统的状态观测器

应当指出，当系统阶次较低（n?3）时，检验其能观性后，可以不必将它化为能观标准型，直接计算反馈增益阵G的代数方程还是比较简单的。但随着系统阶次的增高，直接计算G的方程将愈加复杂。此时不如先将其化成能观标准型?o?(A,b,c)，求出在x下的G，然后再把G变换为原状态x下的G?TG。例如对于本例，有

?1?2g0g0??10??g0? ??A?GC???2?1???????00??g1???2g1g1?f(?)??I?(A?GC)??2?(2g0?g1?1)??g1

与期望特征多项式比较，得

2g0?g1?1?20g1?100

?g0??60.5?G?故?g???100?，与上面结果一致。

??1?? 2．利用状态观测器实现状态反馈的系统

状态观测器解决了受控系统的状态重构问题，可以使状态反馈系统得以实现。但是用状

?(t)代替真实状态x(t)来实现状态反馈，其状态反馈阵K是否需态观测器提供的状态估值x要重新设计，以保持系统的期望特征值？当观测器被引入系统后，状态反馈系统部分是否会改变已经设计好的观测器的极点配置，其观测器输出反馈阵G是否需要重新设计？为此需对引入观测器的状态反馈系统作进一步的分析。

图8-17是一个带有全维观测器的状态反馈系统

327

图8-17 带状态观测器的状态反馈系统

设能控能观的受控系统?0?(A,B,C)为 状态观测器?G为

??Ax?Buxy?Cx （8-116）

???(A?GC)x??Bu?Gy （8-117） x反馈控制律为

u?Kx?v （8-118） 将式（8-118）代入式（8-116）和式（8-117）整理得整个闭环系统的状态空间表达式为 ??Ax?BKx??Bvx???GCx?(A?GC?BK)x??Bv （8-119） xy?Cx写成矩阵形式为

???A?x?????GC?x ?????x??B??x???B?v?A?GC?BK?????? （8-120） ?x?y??C0??????xBK这是一个2n维的闭环控制系统。

?，引入等效变换： x?x?x设状态估计误差为~?x??I ?~????x??I令变换矩阵为

0??x??x??x???x?x? （8-121） ???I??????0??I???1?I T???I0??I?1T?，?I?I????I???I0??T （8-122） ??I?经线性变换后式（8-120）变为

328

??x??A?BK???????x???0x ?y??C由式（8-123）可知，

?BK??x??B????v????A?GC??x??0? （8-123）

?x?0?????x?x????x??(A?GC)(x?x?) x?)是不能控的，不管施加了什么样的控制信号，状态误差总衰该式与u、v无关，即(x?x减到零，这正是所希望的，是状态观测器具有的重要性质。

由于线性变换不改变系统的传递函数矩阵，故由式（8-123）易导出其系统的传递函数矩阵为

BK?sI?(A?BK)??B???W(s)?C0 ???0? （8-124）

0sI?(A?GC)????利用矩阵分块求逆公式

?1?R?1?R?1ST?1??RS??? ?? （8-125） ??1T?0T??0??1则 W(s)?C[sI?(A?BK)]B （8-126）

式（8-126）说明，带观测器状态反馈闭环系统的传递函数矩阵等于直接状态反馈系统的传

?代替实际状态x作为反递函数。或者说，它与是否采用观测器反馈无关，可用状态估值x馈。

由于线性变换不改变系统的特征值，由式（8-123）可以导出其特征值

?1sI?(A?BK)BK?sI?(A?BK)?sI?(A?GC) （8-127）

0sI?(A?GC)该式表明带观测器状态反馈闭环系统的特征值是由直接状态反馈系统的极点和观测器的极

点两部分组成的，且两部分特征值相互独立，彼此不受影响，因而状态反馈矩阵K和输出反馈矩阵G，可以根据各自的要求来独立进行设计。故有下列定理。

分离定理 若受控系统??(A,B,C)能控能观，用状态观测器估值形成状态反馈时，其系统的极点配置和观测器设计可分别独立进行。

1，用状态反馈将闭环极点配置

s(s?6)为?4?j6。并设计实现状态反馈的状态观测器。（设其极点为?10，?10）。

[例8-13]设受控系统的传递函数为 W(s)?解 （1）由传递函数可知，系统能控能观，因此存在状态反馈及状态观测器。根据分离定理可分别进行设计。

（2） 求状态反馈矩阵K

直接由传递函数可以写出系统的状态空间表达式为

令

K??k0?00??1????x?x??0?u

1?6????y??01?xk1?，得闭环系统矩阵

?kk1???0?1k1? ??6? A?bK???00??1?????k0??1?6??0?则闭环系统特征多项式为

329

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库第八章控制系统的状态空间分析与综合(8)在线全文阅读。