第八章控制系统的状态空间分析与综合(5)

对式（8-54）在0~t间积分，有 e?Atx(t)??e?A?Bu(?)d?

00tt整理后可得式（8-53）

x(t)?φ(t)x(0)?φ(t??)Bu(?)d?

0?t 很明显，式（8-52）的解x(t)是由两部分组成：等式右边第一项表示由初始状态引起的自由运动，第二项表示由控制激励作用引起的强制运动。 [例8-7] 试求下述系统在单位阶跃函数作用下的解

1??0?0?? x???x??1?u

?2?3????解 （1）先求φ(t)

从上例已求出

?2e?t?e?2te?t?e?2t? φ(t)?? ?t?2t?t?2t??e?2e???2e?e?0? （2）将b???，u(t)?1(t)代入式（8-53）

?1??2e?t?e?2tx(t)???t?2t??2e?e?2e?t?e?2t???t?2t??2e?ee?t?e?2t??x1(0)?t?e?(t??)?e?2(t??)?????(t??)d? ??t?2t???2(t??)?0?e?2e??x2(0)??2e??e?1?t?2t?e?t?e?2t??x1(0)???e?e? ??2??t?2t???e?2e??x2(0)??e?t?e?2t???

四、 离散时间系统状态方程的解

离散时间状态方程有两种解法：递推法和z变换法。这里只介绍常用的递推法，对z变换法感兴趣的读者可参阅有关书籍。

线性定常离散时间系统的状态方程为 x(k?1)?Gx(k)?Hu(k)

x(k)k?0?x(0) （8-55） 用迭代法解矩阵差分方程（8-55） k?0,x(1)?Gx(0)?Hu(0)

k?1,x(2)?Gx(1)?Hu(1)?G2x(0)?GHu(0)?Hu(1)

k?2,x(3)?Gx(2)?Hu(2)?G3x(0)?G2Hu(0)?GHu(1)?Hu(2)

???

k?k?1,x(k)?Gx(k?1)?Hu(k?1)?Gkx(0)?Gk?1Hu(0)???GHu(k?2)?Hu(k) 即 x(k)?Gx(0)?k?Gj?0k?1k?j?1Hu(j) （8-56）

式（8-56）即为线性定常离散时间系统的状态方程（8-55）的解 五、 连续时间状态空间表达式的离散化

数字计算机所处理的数据是数字量，它不仅在数值上是整量化的，而且在时间上是离散化的。如果采用数字计算机对连续时间状态方程求解，那么必须先将其化为离散时间状态方程。当然，在对连续受控对象进行在线控制时，同样也有一个将连续数学模型的受控对象离散化的问题。

离散按一个等采样周期T的采样过程处理，即将t变为kT，其中T为采样周期，而

310

k?0,1,2,?为一正整数。输入量u(t)则认为只在采样时刻发生变化，在相邻两采样时刻之间，u(t)是通过零阶保持器保持不变的，且等于前一个采样时刻之值，换句话说，在kT和(k?1)T之间，u(t)?u(kT)?常数。

在以上假定情况下，对于连续时间的状态空间表达式

??Ax?Buxy?Cx?Du

将其离散化后，则得离散时间状态空间表达式为

x(k?1)?G(T)x(k)?H(T)u(k) （8-57）

y(k)?Cx(k)?Du(k)式中 G(T)?eAT H(T)??e0tAtdtB （8-58）

在采样周期T较小时，一般当其为系统最小时间常数的110左右时，离散化的状态方程可进似表示为

x[(k?1)T]?(TA?I)x(kT)?TBu(kT) （8-59） 即

G(T)?TA?I

H(T)?TB第三节 线性定常系统的能控性和能观性

在控制工程中，有两个问题经常引起设计者的关心。那就是加入适当的控制作用后，能否在有限时间内将系统从任一初始状态控制（转移）到希望的状态上，以通过对系统输出在一段时间内的观测，能否判断（识别）系统的初始状态。这便是控制系统的能控性与能观性问题。控制系统的能控性及能观性是现代理论中很重要的两个概念。在多变量最优控制系统中，能控性及能观性是最优控制问题解的存在性问题中最重要的问题，如果所研究的系统是不可控的，则最优控制问题的解是不存在的。

一、能控性问题

能控性所考察的只是系统在控制作用u(t)的控制下，状态矢量x(t)的转移情况，而与输出y(t)无关，所以只需从状态方程的研究出发即可。

1．线性连续定常系统的能控性定义 线性连续定常系统

??Ax?Bu （8-60） x如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在有限时间区间[t0,tf]内，使系统由某一初始状态x(t0)，转移到指定的任意终端状态x(tf)，则称此状态是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。

2．能控性的判别

线性连续定常单输入系统

??Ax?bu （8-61） x其能控的充分必要条件是由A,b构成的能控性矩阵

AbA2b?An?1b （8-62）

满秩，即rankM?n。否则当rankM?n时，系统为不能控的。

下面来推导系统状态完全能控的条件，在不失一般性的条件下，假设终端状态x(tf)为

M?b状态空间的原点，并设初始时间为零，即t0?0。

方程（8-60）的解为 x(t)?ex(0)?由能控性定义，可得

At???t0eA(t??)bu(?)d?

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x(tf)?0?eAtfx(0)??e0tfA(tf??)bu(?)d?

即 x(0)??注意到e?A??tf0e?A?bu(?)d? （8-63）

可写成

?A? e???k(?)Ak （8-64）

k?0n?1将方程（8-64）代入方程（8-63）中，可得 x(0)??设

?Akb??k(?)u(?)d? （8-65）

k?0tf0n?1tf?0?k(?)u(?)d???k

那么方程（8-65）变为

x(0)???Ab?kk?0n?1k

??0????1?n?1? ??bAb?Ab （8-66） ??????n?1??要是系统能控，则对任意给定的初始状态x(t0)，应能从式（8-66）解出?0,?1,?,?n?1??来，因此，必须保证

M?bAbA2b?An?1b 的逆存在，亦即其秩必须等于n。

同理，可以证明，对于多输入系统

??Ax?Bu （8-67） x其能控的充分必要条件是由A,B构成的能控性矩阵

??A2B?An?1B （8-68）

满秩，即rankM?n。否则当rankM?n时，系统为不能控的。

需要注意的是，对于单输入系统，M阵为n?n的方阵，rankM?n与M的行列式的值不为零是等价的，故可以通过计算M的行列式的值是否为零来判断M是否满秩。而对于多输入系统，此时M为n?nr的矩阵，其秩的确定一般的说要复杂一些。由于矩阵M和MT积MMT是n?n方阵，而它的秩等价于M的秩，因此可以通过计算方阵MMT的秩来确定M的秩。

M?B?AB?[例8-8] 已知某系统如下，试判断其是否能控。

??45???5?? x???x??1?u

10??????525?解 M??bAb??? ??1?5?显然其秩为1，不满秩，故系统为不能控的。

[例8-9] 试判断下列系统的能控性。

?121??10????010?x??01?u x???????103???00?? 312

?101224???2解 M?BABAB?010101

????001042???26617???T MM?632

????17221????易知MM是满秩的，故M满秩，系统是能控的。实际上在本例中，M的满秩从M矩阵

前三列即可直接看出，它包含在 ?BT?1012??

AB???0101????0010??的矩阵中，所以在多输入系统中，有时并不一定要计算出全部M阵。这也说明，在多输入

系统中，系统的能控性条件是较容易满足的。

3．输出能控性概念

如果需要控制的是输出量，则需研究输出能控性。输出能控性定义为 对于系统

y?Cx?Du在有限时间区间t?[t0,tf]，存在一个无约束的分段连续的控制输入u(t)，能使任意初始

输出y(t0)转移到任意终端输出y(tf)，则称系统是输出完全能控的，简称输出能控。

系统输出能控的充分必要条件是

S?CBCABCAB?CABD （8-69） 的秩为输出变量的数目m。即 rankS?m

状态能控与输出能控是两个概念，其间没有什么必然联系。

二、能观性问题

控制系统大多采用反馈控制形式。在现代控制理论中，其反馈信息是由系统的状态变量组合而成。但并非所有的系统的状态变量在物理上都能测取到，于是便提出能否通过对输出的测量获得全部状态变量的信息，这便是系统的能观测问题。

1．能观性定义

能观性表示的是输出y(t)反映状态矢量x(t)的能力，与控制作用没有直接关系，所以分析能观性问题时，只需从齐次状态方程和输出方程出发，即

??Ax?Bux

?2n?1?y?Cx如果对任意给定的输入u(t)，在有限的观测时间tf?t0，使得根据[t0,tf]期间的输出

y(t)能唯一地确定系统在初始时刻的状态x(t0)，则称状态x(t0)是能观的。若系统的每一

个状态都是能观的，则称系统是状态完全能观测的。

2．能观性的判别 线性连续定常系统

??Ax;x(t0)?x0x （8-70）

??Axx （8-71）

y?Cx其能观的充分必要条件是由A,C构成的能观性矩阵

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?C??CA?? （8-72） N??????n?1??CA?满秩，即rankN?n。否则当rankN?n时，系统为不能观的。

证明 由式（8-71）可以求得 y(t)?CeAtx(0) 由于 e我们可得

y(t)?Atn?1???k(t)Ak

k?0??k?0n?1k(t)CAkx(0)

?C??CA?? （8-73） ???0(t)I?1(t)I??n?1(t)I??????n?1??CA?因此，根据在时间区间t0?t?tf测量到的y(t)，要能从式（8-73）唯一地确定x(t0)，即

完全能观的充要条件是矩阵

?C??CA?? N??????n?1??CA?满秩。

同样，对于单输出系统，N阵为n?n的方阵，rankN?n与N的行列式的值不为零是等价的，故可以通过计算N的行列式的值是否为零来判断N是否满秩。而对于多输出系统，此时N为nm?n的矩阵，由于矩阵N和N积NN是n?n方阵，而它的秩等价于

TTN的秩，因此可以通过计算方阵NTN的秩来确定N的秩。

三、能控标准型和能观标准型

由于状态变量选择的非唯一性，系统的状态空间表达也不是唯一的。在实际应用中，常常根据所研究问题的需要，将状态空间表达式化成相应的几种标准形式：如约旦标准型，对于状态转移矩阵的计算，能控性和能观性分析是十分方便的。能控标准型对于状态反馈来说比较方便，而能观标准型则对于状态观测器的设计及系统辩识比较方便。无论选用哪种标准形，其实质都是对系统状态空间表达式进行非奇异线性变换，而且关键在于寻找相应的变换矩阵T。这样做的理论依据是非奇异变换不改变系统的自然模态及能控性，能观性，而且只有系统完全能控（能观）才能化成能控（能观）标准型，对于一个传递函数为

bn?1sn?1?bn?2sn?2????b1s?b0 W(s)? （8-74） nn?1s?an?1s?????a1s?a0的系统，可以证明，当其无相消的零极点时，系统一定能控能观，则可直接由传递函数写出其能控、能观标准型。

1．能控标准型

当系统的传递函数如式（8-74），则可直接写出其能控标准型：

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