第八章控制系统的状态空间分析与综合(2)

W(s)?b0 （8-9） nn?1s?an?1s???a1s?a0如前述，上式的实现，可以有多种结构，常用的简便形式可由相应的模拟结构图8-3导出。这种由中间变量到输入端的负反馈，是一种常见的结构形式，也是一种最易求得的结构形式。

图8-3 系统模拟结构图

将图中的每个积分器的输出取作状态变量，状态方程由各积分器的输入—输出关系确定，输出方程在输出端获得。

由图8-3，容易列出系统的状态空间表达式为

?1?x2x?2?x3x

??

?n?1?xnx?n??a0x1?a1x2???an?2xn?1?an?1xn?uxy?b0x1写成矩阵形式，则为

?1??010?0??x1??0??x?x??x??0??2??001?0?????2?????????????0?u （8-10） ??????

?????????x000?1x?n?1????n?1??????n??1???x????a0?a1?a2??an?1????xn??? y??b000?0?x

简写为

??Ax?buxy?cx

顺便指出，当A阵具有式（8-10）的形式时，称为友矩阵，友矩阵的特点是主对角线上

方的元素均为1，最后一行的元素可取任意值，而其余元素均为零。

[例8-2] 已知系统的输入输出微分方程为

???6???11y??6y?3u yy ?试列写其状态空间表达式。

?/3,??/3为状态变量，即 x1?y解 选y/3,y???yyy,x2?,x3? 333 295

?y?x23??y?2??x3x可得 3?y???3???6x1?11x2?6x3?ux3y?3x1?1?x写成矩阵形式

?1??010??x1??0??x?x??x???0?u?2???001?????2?????3???6?11?6????1???x???x3???

?x1??y??300??x2????x3?? （2）传递函数中有零点时的实现

此时系统的微分方程为

??a0y?bmu(m)?bm?1u(m?1)???b1u??b0u y(n)?an?1y(n?1)???a1y相应的传递函数为

Y(s)bmsm?bm?1sm?1???b1s?b0 W(s)? m?n （8-11） ?nU(s)s?an?1sn?1???a1s?a0在这种包含有输入函数导数情况下的实现问题，与前述实现的不同点主要在于选取合适

的结构，使状态方程中不包含输入函数的导数项，否则将给求解和物理实现带来麻烦。

为了说明方便，又不失一般性，这里先从三阶微分方程出发，找出其实现规律，然后推广到n阶系统。

设待实现的系统传递函数为

Y(s)b3s3?b2s2?b1s?b0 n?m?3 （8-12） W(s)??32U(s)s?a2s?a1s?a0因为n?m，上式可变为

(b2?a2b3)s2?(b1?a1b3)s?(b0?a0b3) W(s)?b3? 32s?a2s?a1s?a01令 Y1(s)?3U(s) 2s?a2s?a1s?a0则Y(s)?b3U(s)?Y1(s)((b2?a2b3)s2?(b1?a1b3)s?(b0?a0b3)) 对上式求拉氏反变换，可得

?1?(b1?a1b3)y?1?(b0?a0b3)y1 y?b3u?(b2?a2b3)?y据此可得系统模拟结构图，如图8-4

296

图 8-4 系统模拟结构图

选每个积分器的输出为一个状态变量，可得系统的状态空间表达式

?1?x2x?2?x3x?3??a0x1?a1x2?a3x3?uxy?b3u?(b2?a2b3)x3?(b1?a1b3)x2?(b0?a0b3)x1

或表示为矩阵形式

?1??0?x?x?2???0?????3???a0?x??10?a10??x1??0??x???0?u1???2????a2????1???x3????x1???buy??(b0?a0b3)(b1?a1b3)(b2?a2b3)??x2??3??x3??10?0?a101?0???? （8-13）

推广到n阶系统，式（8-11）的实现可以写为

?1??0?x?x?2??0??? ??????????x?n?1??0??n??x????a0?a2? y??(b0?a0bn)(b1?a1bn)?0??x1??0??x??0?0???2????????????u （8-14）

?????1??xn?1??0??an?1??1?????xn????x1??x??2?(bn?1?an?1bn)?????bnu

??x?n?1???xn??与（8-10）式比较发现，状态方程是相同的，所不同的只是输出方程。而且式（8-10）属于

式（8-14）的特例。注意到这个特点就很容易根据式（8-14），由传递函数的分子分母多项式的系数，写出系统的状态空间表达式。

由于实现是非唯一的，下面仍从三阶系统出发，以式（8-12）的传递函数为例。图8-5与图8-4相比，从输入输出的关系看，二者是等效的。

297

图8-5 系统模拟结构图

dud2ud3u,,从图8-5可以看出，输入函数的各阶导数作适当的等效移动，就可以用图8-6adtdt2dt3表示，只要?0,?1,?2,?3系数选择适当，从系统的输入输出看，二者是完全等效的。将综

合点等效地移到前面，得到等效模拟结构图如图8-6b所示。

图8-6 系统模拟结构图

从图8-6b容易求得其对应的传递函数为

W(s)???3(s3?a2s2?a1s?a0)??2(s2?a2s?a1)??1(s?a2)??0s?a2s?a1s?a0s?a2s?a1s?a03232

（8-15）

?3s3?(a2?3??2)s2?(a1?3?a2?2??1)s?(a0?3?a1?2?a2?1??0) 298

为求得?i令式（8-15）与式（8-12）相等，由此得出

?3?b3a2?3??2?b2

a1?3?a2?2??1?b1a0?3?a1?2?a2?1??0?b0故得

?3?b3?2?b2?a2?3 （8-16）

?1?b1?a1?3?a2?2?0?b0?a0?3?a1?2?a2?1

为便于记忆可将式（8-16）写成式（8-17）的形式

?1?a?2?a1??a001a2a1001a20??β3??b3??β??b?0???2???2? （8-17） 0??β1??b1??????1??β0??b0?将图8-6a的每个积分器的输出选做状态变量，如图所示，可得这种结构下的状态空间表达式

?1?x2?β2ux?2?x3?β1ux?3??a0x1?a1x2?a3x3?β0uxy?x1?β3u

即

?1??0?x?x?2???0?????3???a0?x??10?a10??x1??β2??x???β?u1???2??1??a2????x3????β0???x1???βuy??100??x23????x3??10?0?a101?0???? （8-18）

扩展到n阶系统，其状态空间表达式可以写为

?1??0?x?x?2??0??? ??????????xn?1???0??n??x????a0?a2?0??x1??βn?1??x??β?0???2??n?2??????????u （8-19）

?????1??xn?1??β1??an?1????xn????β0???x1??x??2? y??100?0?????βnu

??x?n?1???xn??

299

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库第八章控制系统的状态空间分析与综合(2)在线全文阅读。