小波变换在图像分割中的应用本科生毕业论文(4)

徐州师范大学科文学院本科生毕业论文 小波变换在图像分割中的应用

Morlet小波函数10.80.60.40.20-0.2-0.4-0.6-0.8-1-8-6-4-202468

图2-3 Morlet小波函数图像

(3) Meyer小波

该小波在频域上具有紧支集和任意阶正则性，所以它在时域和频域都具有较好的局部性。

图2-3 Meyer 小波

1.510.50.50-0.5-1-10-505100-0.5-10Meyer小波1.51Meyer尺度函数-505102.2.3 多分辨率分析

Mallat在1987年将计算机视觉领域中的多尺度分析思想引入到小波分析中，并且提出了多分辨率分析概念。同时小波变换具有多分辨率性，多分辨率分析指满足下列性质的一系列闭子空间{Vj},j?Z：

（1）平移不变性：即f?t??V0?f?t?n??V0，对所有的n?Z；

10

徐州师范大学科文学院本科生毕业论文 小波变换在图像分割中的应用

（2）一致单调性：即????V2?V1?V0?V?1?V?2????； （3）伸缩规则性：即f?t??Vj?f?2jt??V0 j?Z； （4）渐进完全性：即?Vj?{0};??L2?R?；

j?Zj?Z（5）正交基存在性：即存在??V0，使{??t?n?}n?Z是V0的正交基，使

V0?span{??t?n?}，fR??t?n???t?m?dt??m,n。

由于离散化小波的信息量仍是冗余的，因此再次从数字计算机处理的角度考虑，人们仍然希望减小离散化小波的冗余量，直到得到一组正交基。这组正交基称为正交小波基。如何构成正交基，构造小波母函数??x?，而解决这些问题的方法就是多分辨率分析理论。

从多分辨率的定义可知，所有的闭子空间{Vj}j?Z都由同一尺度函数?伸缩后的平移系列展开成的尺度空间，??t?被称为多分辨率分析中的尺度函数。多分辨率分析的一系列尺度空间是由同一尺度函数在不同尺度下展开的。所以多分辨率分析理论为小波变换提供了数学上的理论基础[12]。

2.2.4 连续小波变换

将任何L2?R?空间里的函数f?t?在小波基下进行展开，我们称这种展开为函数f?t?的连续小波变换（简称为CWT），它的表达式为

WTf?a,????f?t?,?a,??t???1a?R?t??? （2-5） f?t????dt?a?从CWT的定义可知，小波变换和傅里叶变换一样都是积分变换，WTf?a,??被称为小波变换系数，因为小波基与傅里叶基不相同，所以小波变换和傅里叶变换的不同之处有很多。其中最重要的不同是，小波基有平移?、尺度a两个参数，因此在小波基下把函数展开，就意味着将该时间函数投影到二维时间-尺度的相平面上。由于小波基本身的特点，把函数投影到小波变换域之后，可以更好的提取函数的一些本质特征。

位移和尺度都连续变化的连续小波基函数与傅里叶基不同，形成了一组非正

11

徐州师范大学科文学院本科生毕业论文 小波变换在图像分割中的应用

交的过度完全基。这表示其任意函数的小波展开系数间都有相关关系，如果用

K??a,?;a?,???来描述两个基函数??a,??和??a?,???的相关度大小，那么

?1 K??a,?;a?,????C???a,??t???a?,???t?dt （2-6）

R其中K?表示时移半平面?a,??（由于a>0所以称半平面）、连续尺度的两个不同点间的CWT系数的相关关系，同时也称K?为再生核或者重建核，小波的选取决定了它的结构。CWT的缺点是系数具有较大的冗余量，但我们也可以利用它的冗余量来实现去噪和数据恢复[13]。

2.2.5 离散小波变换

在实际应用中，尤其在计算机实现时，经常需要将连续小波离散化。对变换进行二进制离散是一种方便的形式，我们将离散化后的小波和所相应的小波变换分别称为二进小波和二进小波变换。与连续小波变换不同，因为离散小波变换在尺度-位移的相平面上，所对应是离散的点，所以被称为离散小波变换，把小波变换的连续相平面离散化。

离散化小波变换WTf?m,n???f(t),?m,n?t??表示函数f?t?的所有信息。任意函数f?t?都可表示?m,n?t?为基本单元的加权和f?t??m,n?z?Cm,n?m,n?t?。

在理想状态下，当离散后的小波基函数?m,n?t?满足正交完备性条件时，所计算的小波变换系数没有任何冗余度，可以最大限度地压缩并减少计算量。可是在连续小波变换的概念出现以后，人们一直无法找到具有一定正则性的可作为

L2?R?空间的标准正交基的?m,n?t?。所以人们就去研究具有一定冗余度、非正交的离散小波基离散栅格的取法和它的正、反演问题，也即小波框架的定义。当经伸缩和位移由基本小波??t?引出的函数族 ：

?j ?j,k?t??a0?a0t?kTs； j,k?Z （2-7）

?j2??具有以下性质时：A||f||2???|?f,?j,k?|?B||f||2；0?A?B??

jk2于是称{?j,k?t?}j,k?Z构成了一个小波框架，又称上述性质为小波框架条件，其频域可表示为 ：???|??2jw?|2??,0??????

j?Z 12

徐州师范大学科文学院本科生毕业论文 小波变换在图像分割中的应用

离散小波变换具有时移和非伸缩共变性。连续小波变换具有时移共变性，但对于离散小波变换，在小波框架式的情况下该性质就不存在了。

2.3 马尔可夫随机场的基本理论

设S?{?i,j?|1?i?N,1?j?M}表示有MN个位置的有限格点集，

X?{xs|s?S}表示在?s?S处的随机场中，xs指的是定义在随机场X上状态空间为??{1,2,???,L}的隐状态随机变量(称X为图像中的标号场，?为标号随机变量xs的可能取值)，即xs??。

设定义在S上的通用的邻域系统的集合是??{??s?|s?S}，它满足以下特性：①s???s?②?s,r?S,s???r??r???s?③??s?S?。位置r???s?被称为s的邻点，而??s?称为s的邻点集。

在S中有着不同的邻域结构，当子集c?S中每对不同位置总是相邻时，则称c是一个基团，而C表示基团的集合。包含若干位置的集合称为基团，在退化的状况下，每个基团只含一个位置，处理图像时，此情况被认为是像素间无相互作用;另外一种不好的状况是S的子集都是基团，可表示为{??s??S\\s}，处理图像时，该情况被认为是所有像素互相影响。图像的局部性质很大程度取决于基团的选取，因为基团是构成马尔可夫先验模型的关键环节。处理图像时，通常采用的邻域系统是各方向同性的。把s当作晶格，此时邻域系统可定义为:??n??s??{r|d?s,r??n,r?s}，式中的d???表示距离函数，经常使用市区距离、欧氏距离等函数，n表示邻域系统的阶次。在?n?0时，其关系特性为:??n??s????n?1??s?，显然边界位置的邻点比区域的内部少。设

??{w?(ws1,ws2,???,wsmn)|wsi??,1?i?MN}是所有可能组态的集合，如果随机场x是关于通用邻域系统?的马尔可夫随机场，则满足以下两个条件：

①p?X?w??0,?w??；

②p(Xs?xs|Xr?xr,r?s,?r?s)?p(Xs?xs|Xr?xr,?r???s?)。

13

徐州师范大学科文学院本科生毕业论文 小波变换在图像分割中的应用

式中的p???和p??|??分别表示概率和条件概率。

邻域系统?中的马尔可夫随机场的含义为:在任意晶格点s的剩余格点位置上的随机变量xs取值确定的条件下，随机场在格点s处的取值概率只取决于格点

s的?相邻的点。条件②中的条件概率常被称为马尔可夫随机场的局部特性，任何满足条件①的概率的过程都由条件②中的条件所唯一确定，但在实际应用中这两个条件概率很难确定。在80年代Hammersley-Clifford发现了Gibbs分布与马尔可夫随机场的关系，马尔可夫随机场概率分布这一难题可通过Gibbs分布来解决。

邻域系统?的Gibbs分布是由在?上的概率测度?来定义的，表达形式为:

[14]

??w??1 exp[?U(w)/T] （2-8）

Zw式中的Z是配分函数或归一化常数，满足Z??exp[?U?w?/T],其中T是温度常数，U?w???Vc?w?为能量函数，C表示邻域系统?中所包含基团的集合，

c?C定义在基团C上的势函数是Vc(?)，它只确定于??s?,s?c的值。Hammersley-Clifford定理引出了Gibbs分布与马尔可夫随机场的等价条件: 关于邻域系统的马尔可夫随机场的一个随机场当且仅当这个随机场是关于邻域系统的Gibbs分布。邻域系统??s?的马尔可夫随机场X与Gibbs分布等价形式表示为:

p?xs|xr,r???s???11（2-9） exp[??Vc(xs|xr)]

ZsTc?C式（2-9）解决了求解马尔可夫随机场中概率分布的问题，让对马尔可夫随机场模型的研究转变成对势函数的研究，使能量函数与Gibbs分布建立了等价关系，是研究邻域系统马尔可夫随机场的一个重要标志[15]。

14

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库小波变换在图像分割中的应用本科生毕业论文(4)在线全文阅读。