2015年高考数学《新高考创新题型》之2：函数与导数（含精析）(2)

f?x??x?m恰有三个不同实根，则y?f(x)的图像与y??x?m有三个不同交点，过y?f(x)的图

像上(?1,4和)(0,3)的直线y??x?3正好与y?2?lnx相切，故有三个公共点，而与

f(x)??x2?2x?3相切的直线y??x?错误，综上，正确的命题有①②③．

15与y?2?lnx有两个交点，故此时也有三个公共点，故④454321–4–3–2y–1bOca–1–2–3–4123456789d10111213141516171819x

5．C

【解析】由题意知k?0，m?n．

对①若f(x)?3?4x是k型函数，因为f(x)在区间(??,0)与(0,??)上都是增函数 所以方程3?4?kx有两个不同的非零实根， x2即方程kx?3x?4?0有两个不同的非零实根，

92时，方程kx?3x?4?0有两个不同的正实数根164这时f(x)在[m,n]上的值域恰为[km,kn]，所以函数f(x)?3?是k型函数，故①错误． m,n(m?n)，x1对②，若函数y??x2?x是3型函数, 则存在区间[m,n]，使函数f(x)在[m,n]上的值域恰为21[3m,3n]，函数y??x2?x的对称轴是x?1，下面分三种情况讨论： 2所以当??9?16k?0，且k?0时，即0?k?（a）当m?1时，函数y??12x?x在[m,n]上的值域为212?12?，所以有?n?n,?m?m??2?2?111?n2?n?3m，?m2?m?3n，以上两式相减得到?(n2?m2)?4(m?n)，因为m?n，所以2221n?m?8，即n?8?m，所以?m2?m?3(8?m)，整理得m2?8m?48?0，此方程无实数根； 2121（b）当m?1,n?1时，有3n???1?1，即n?，矛盾； 62（c）当n?1时，有

?12??2m?m?3m??m??4?12时，可得． ?n?n?3n???n?0?2?m?n??综上所述，②正确．

对③，函数f(x)?x3?2x2?x(x?0)是k型函数, 利用导数知识可得f(x)?x3?2x2?x(x?0) 在区间(?1,?)上是减函数，在区间(?,0)上是增函数，若n?0，且m?(?1,?)则函数在区间[m,n]上

1313134444，要使km??，只要取k??，显然这时k?，且函

9272727m4数f(x)在[m,n]上的值域恰为[km,kn]，所以k的最小值不是，因此③不正确． 9的最大值为0，最小值为f(?)??13(a2?a)x?1(a2?a)x?1(a?0)是1型函数, 则?x有两个不同的非零解，即对④， 若函数y?a2xa2xa2x2?(a2?a)x?1?0有两个不同的非零解m，n．由??0得a??3或a?1，

(a2?a)2?4a232423所以n?m?（当a?3时取等号）， ????1??42aaa33所以n?m的最大值为6．D.

23．故选C． 31?2x, 0?x??1?2【解析】函数f(x)?1?2x?1??，当x?[0,]时，f1(x)?2x?x?x?0，

2?2?2x,1?x?1??2当x?(,1]时，f1(x)?2?2x?x?x?，∴f1(x)的1阶不动点的个数为2，当x?[0,1]，4112f1(x)?2x，f2(x)?4x?x?x?0，当x?(,]，f1(x)?2x，f2(x)?2?4x?x?x?，当

42512231332x?(,]，f1(x)?2?2x，f2(x)?4x?2?x?x?，当x?(,1，]f1(x)?2?2x，

24434f2(x)?4?4x?x?x?

5∴f2(x)的2阶不动点的个数为2，以此类推，f(x)的n阶不动点的个数是2个. 7．?4?

【解析】根据题中理性函数的说明需满足：定义域为R的奇函数，且在定义域内为单调递减函数。图中所给四个函数⑴定义域不是R排除，⑵为偶函数排除；⑶为定义在R上的奇函数，当其为减函数，也排除，⑷经检验符合题意.故选⑷. 8．①③④

2nb?R，?a?D，f(a【解析】（1）对于命题①“f(x”即函数f(x)值域为R，“?)?A)?b”

表示的是函数可以在R中任意取值，

b?R，?a?D，f(a故有：设函数f(x)的定义域为D，则“f(x”的充要条件是“?)?A)?b”

∴命题①是真命题；

（2）对于命题②若函数f(x)?B，即存在一个正数M，使得函数f(x)的值域包含于区间

[?MM,]．∴?M?f?x??M．例如：函数f(x)满足?2?f?x??5，则有?5?f?x??5，此

时，f(x)无最大值，无最小值．∴命题②“函数f(x)?B的充要条件是f(x)有最大值和最小值．”是假命题；

（3）对于命题③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f?x??A，g?x??B，

则f(x)值域为R，f?x?????,???，并且存在一个正数M，使得?M?g?x??M．∴．∴命题③是真命题． f?x??gR则f?x??g?x??x?．??Bxx)?aln(x?2)?2（x??2，a?R）有最大值， （4）对于命题④∵函数f(x?1∴假设a?0，当x→题意不符；

假设a?0，当x→?2时，题意不符．∴a?0．

??时，xn(x+2)→??，则f(x)→??．与→0，ln(x+2)→??，∴alx2+1x2-2)→??，则f(x)→??．与→，ln(x+2)→??，∴aln(x+2x+15xx??2 2x+11当x?0时，x??2，∴0?x即函数f(x)=当x?0时，f?x??0； 当x?0时，x?1x?1x?11,即0?f?x??； 2211??2，∴??x21?0，即??f?x??0． 12x?x1∴?11?f?x??．即f(x)?B．故命题④是真命题． 22故答案为①③④． 9．??19?,? ?216?11，即D点的横坐标，且B点的纵坐标是2。即

224【解析】因为A点的纵坐标是2，即2?log2x?x?212?3?992?x?x?4，即B点的横坐标4，亦即C点的横坐标4，则y??，即C 点的纵坐标是 ，??2??1616??则D点的坐标是??19?,? ?216?3????1,??4? 10．?【解析】因为函数f（x）=x+k是（-∞，0）上的正函数，所以a＜b＜0， 所以当x∈[a，b]时，函数单调递减，则f（a）=b，f（b）=a， 即a+k=b，b+k=a，两式相减得a-b=b-a，即b=-（a+1），

代入a+k=b得a+a+k+1=0，由a＜b＜0，且b=-（a+1），∴a＜-（a+1）＜0，

2

2

2

2

2

2

2

11?a??a?1??a??即，?解得-1＜a＜-. ,??22?a?1?0??a??1故关于a的方程a+a+k+1=0，在区间（-1，-2

1）内有实数解， 2记h（a）=

11113，则 h（-1）＞0，h（-）<0，即1-1+k+1＞0且??k?1?0解得k＞-1且m＜-即224423???1,???34??． -1＜m＜-;故答案为：

411．

【解析】从函数图象可以看出，当0?t?0.1时，y与t是正比例函数关系，可设y?kt(k?0)，图象过

点(0.1,1)，用待定系数法求k便可，而当t?0.1时，y???1???16?t?a，图象过点(0.1,1)，用待定系数法求出a便可，最后把函数关系写成分段函数形式；第二步分两种情况解不等式，一句话分段函数问题分段解决. （1）由图知，当0?t?0.1时，可设y?kx， 由于点?0.1,1?在直线上可得k?10。此时y?10t

?1?当t?0.1时，由1????16?0.1?a可得a?0.1

?10t(0?t?0.1)?综上y???1?t?0.1

(t?0.1)?????16?由题意可知y?0.25，即y?1111. 当0?t?0.1时，10t??t?，则0?t?；当t?0.1时，

40444011133或t? ()t?0.1??t?;所以0?t?4016455因此由题意至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室。

??0.5x2?4x?4.4,0≤x≤512．（Ⅰ）f(x)=R?x??G?x???;（Ⅱ）当工厂生产4千台产品时，可使

?8.2?x,x?5赢利最大，且最大值为3.6万元.

【解析】（Ⅰ）由已知分析的出总成本G?x??3.2?4x.再根据利润=销售收入?总成本，即可求出y?f?x?的解析式；（Ⅱ）当x?5时，函数为减函数，当0≤x≤5时，函数为二次函数，取对称轴x?4时，可取得函数的最大值.

（Ⅰ）由题意得G?x??3.2?4x.

??0.5x2?4x?4.4,0≤x≤5∴f(x)=R?x??G?x???．

?8.2?x,x?5（Ⅱ）当x?5时，∵函数f(x)递减，∴f(x)

当0≤x≤5时，函数f(x)??0.5?x?4??3.6,

所以当x?4时，f(x)有最大值为3.6（万元）． 所以当工厂生产4千台产品时，可使赢利最大，且最大值为3.6万元． 13.（Ⅰ）k?212；（Ⅱ）14. 516?1)?4，求得k的值； 9?x【解析】（Ⅰ）将x?3代入k(?164(?1)?0?x?5???9?x（Ⅱ）当k?4时，y??，当0?x?5时，由y?4，解得1?x?5；当

2?4(11?x2)?5?x?16??45?5?x?16时，由y?4，解得5?x?15；所以1?x?15，故有效去污时间

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