2015年高考数学《新高考创新题型》之2：函数与导数（含精析）

之2.函数与导数（含精析）

一、选择题。

1．设函数y?f?x?在区间?a,b?上的导函数为f??x?，f??x?在区间?a,b?上的导函数为f???x?，若区间?a,b?上f???x??0，则称函数f?x?在区间?a,b?上为“凹函数”，已知f?x??151x?mx4 2012?2x2在?1,3?上为“凹函数”，则实数m的取值范围是（ ）

A．(??,3131) B．[,5] C．(??,3] D．???,5? 992．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f(x)???1,x?Q

?0,x?eRQ被称为狄利克雷函数，其中R为实数集,Q为有理数集，则关于函数f(x)有如下四个命题： ①

f?f?x???0； ②函数

f?x?是偶函数；

③任取一个不为零的有理数T,

f?x?T??f?x?对任意的x?R恒成立；

④存在三个点A?x1,f(x1)?,B?x2,f(x2)?,C?x3,f(x3)?，使得?ABC为等边三角形. 其中真命题的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

3．设函数f?x?的定义域为D,若函数f?x?满足条件：存在?a,b??D,使f?x?在?a,b?上的值域是

x?ab???fx??fx?log2?t为“倍缩函数”2则称为“倍缩函数”，若函数，则的范围是（ ） ,??22????1? C.0， D. 0， A.?,??? B.?0，?????1?4????1?2???1?4?2???x?2x?3,x?0,直线y?m与函数f?x?的图像相交于四个不同的点，从小到大，4．函数f?x???2?lnx,x?0??交点横坐标依次记为a,b,c,d，有以下四个结论 ①m??3,4?

②abcd?0,e4 ③a?b?c?d??e5?????11??2,e6?2?2? ee?④若关于x的方程f?x??x?m恰有三个不同实根，则m取值唯一. 则其中正确的结论是（ ）

A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④

5．f(x)是定义在D上的函数, 若存在区间[m,n]?D， 使函数f(x)在[m,n]上的值域恰为[km,kn]，则称函数f(x) 是k型函数．给出下列说法:

4不可能是k型函数； x1②若函数y??x2?x是3型函数, 则m??4，n?0； 2①f(x)?3?③设函数f(x)?x3?2x2?x(x?0)是k型函数, 则k的最小值为4； 9(a2?a)x?123(a?0)④若函数y? 是型函数, 则的最大值为． n?m1a2x3下列选项正确的是（ ）

A．①③ B．②③ C．②④ D．①④

6．已知函数f(x)?1?2x?1，x?[0,1].定义：f1(x)?f(x)，f2(x)?f(f1(x))，??，

fn(x)?f(fn?1(x))，n?2,3,4,阶不动点的个数是（ ）

满足fn(x)?x的点x?[0,1]称为f(x)的n阶不动点.则f(x)的nA.2n个 B.2n个 C.2(2?1)个 D.2个

二、填空题。

7．若函数f?x?同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f?x??f??x??0 ②对于定义域上的任意

2nnx1,x2，当x1?x2时，恒有

f?x1??f?x2??0，则称函数f?x?为“理想函数”。给出下列四个函数中：

x1?x2??x22x?112⑴ f?x?? ⑵ f?x??x ⑶ f?x??x， ⑷ f?x???2x2?1?xx?0x?0，能被称为“理想函

数”的有_ _ （填相应的序号） 。

8．以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数??x?组成的集合：对于函数??x?，存在一个正数

M，使得函数

??x?的值域包含于区间??M,M?.例如，当

. ?x现有如下命题：B3?1?x??x,?2nx??，A??x?si时，?1?x??2?①设函数f?x?的定义域为D，则“f?x??A”的充要条件是“?b?R,?a?D,f?a??b”； ②函数f?x??B的充要条件是f?x?有最大值和最小值；

③若函数f?x?，g?x?的定义域相同，且f?x??A,g?x??B，则f?x??g?x??B ④若函数f?x??aln?x?2??x?x??2,a?R?有最大值，则f?x??B. x2?1x其中的真命题有_____________.（写出所有真命题的序号）

?3?9．如图，在第一象限内，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y=log2x,y?x,y???2??，的

??212图像上，且矩形的边分别平行两坐标轴，若A点的纵坐标是2，则D点的坐标是 。

10．若函数f（x）为定义域D上的单调函数,且存在区间[a,b]?D（其中a

三、解答题。

11.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y??常数），如图所示．据图中提供的信息，回答下列问题：

2?1???16?t?a（a为

y毫克1 t 小时

O0.1

（1）写出从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室。那么药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？

12.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（千台），其总成本为G?x?（万元），其中固定成本为3.2万元，并且每生产1千台的生产成本为4万元（总成本=

??0.5x2?8x?1.2,0≤x≤5固定成本+生产成本）．销售收入R?x?（万元）满足R?x???，假定该产品产销

,x?5?3x?11.4平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题： （Ⅰ）写出利润函数y?f?x?的解析式（利润=销售收入?总成本）； （Ⅱ）工厂生产多少千台产品时，可使盈利最多？

13.有一种新型的洗衣液，去污速度特别快.已知每投放k(1?k?4且k?R)个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为y?k?f(x)，

?16?1?0?x?5???9?x其中f(x)??.根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起

?11?2x2?5?x?16??45?到有效去污的作用.

（Ⅰ）若投放k个单位的洗衣液，3分钟时水中洗衣液的浓度为4（克/升），求k的值 ； （Ⅱ）若投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？

1．C

'【解析】由已知条件得f(x)?1413x?mx?4x，则f''(x)?x3?mx2?4，所以x3?mx2?4?0在43444?1,3?恒成立，则m?x?x2，因为x?x2在?1,3?递增，所以x?x2??3，所以m??3．

4．A

【解析】当x?0时，f(x)??x?2x?3??(x?1)?4?4，当x?0时，f(0)?3，由图可得，当直线y?m与函数f?x?的图像相交于四个不同的点，则m??3,4?，故①正确；由①得c?(2211,]，e2ed?[e5,e6)，a?b??2，2?lnc?2?lnd，所以2?lnc?lnd?2，即cd?e4，故abcd?e4ab，

由

于

?a?b20?ab??a(?b)?()?(，

2故)a1?0?bc,e4d?，故②正确；

e4e411a?b?c?d??2?c?d??2?c?，由对号函数的图像得y?c?，当c?(2,]递减，故

eecc11??a?b?c?d??e5??2,e6?2?2?15e1ee??，故③正确；若关于x的方程?e?c??2?e6，所以ece4

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