电磁学复习练习题作业(答案)(3)

所以，插入后，两板间的电容为C?QUA?UB?3(2?1?)QUAO?UBO?3?r1?2?rC0

?r电容的改变量为?C?C?C0??r?1C0，可见，插入电介质后电容增加。

1?2?r电

势

差

为

（2）若C、D为导体板，则C、D为等电势（静电平衡导体的内部场强为零，导体为等势体），此时两板 间

的

UA?UB?UA?UC?UC?UD?UD?UB?E?所以，插入导体后，两板间的电容为

d3?0?E?d3?23Ed?2(UAO?UBO)3C?QUA?UB?32UAO?UBO?Q?32C0

电容的改变量为?C?C?C0?12C0 可见，无论插入导体还是插入电介质后电容都增加。

（3）从（1）（2）可见，C与插入的导体或是电介质的位置无关

（4）导体板抽出，外力要作功，根据功能原理，此功等于系统能量的增加。 未抽出导体时，系统的能量为W?1212?0E(Sd)(或?3Q222Q22C)?1213?0E2Sd

抽出导体后，系统的能量为W/??0E(Sd)(或?1622C0)??0E2Sd

所以外力作的功为

A?W/?W??0E2Sd

3.一个半径为R的金属球带有电量q0，浸埋在均匀无限大电介质中（电容率为ε），求球外任意一点P的电场强度和极化电荷分布

解;带有电量为q0的金属球，静电平衡以后电荷都在外表面，且在空间激发电场，该电场与电介质相互作

用，结果使电介质表面出现极化电荷（由于是均匀电介质，极化后电荷体密度为零），设靠近金属球表面的电介质表面的面电荷密度为?（另一个电介质表面在无穷远处）

/

根据有介质时的高斯定理，过电介质中一点A作半径为r的高斯面S，由对称性可知S面上的各点的D大

?小相同且沿径向，根据高斯定理有D?q04?r2再由D??E知E?q04??r2

????由于??P?n及P??0(?r?1)E

/可知：?/?????0q0??4?r2（注意：靠近金属球表面的电介质表面的外法线方向指向金属球）

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??/（D和E的方向以及?的正负取决于q0的正负）

?4．如图所示，均匀极化的电介质球的极化强度为P 求在球心产生的退极化场。

?解：设电介质球的球心为O，过球心且与P方向一致为正x方向，电介质表面任意一点A 的面电荷密度

为?/?，且面电荷密度相同的点构成半径为Rsin?的圆周（圆?Pcos?（?为P与面法线方向的夹角）

环带），即相同圆环带上的面电荷密度相同。

为求极化电荷产生的电场，将极化后的带电介质球分割成无数个带电圆环，每个圆环在轴线上一点（O）

?产生的E叠加即可。

任取?处的带电圆环，电荷量为dq/??/dS?Pcos??2?(Rsin?)?Rd?

该带电圆环在O处产生的电场大小为

dE?/dq/4??0R2cos??P2?0sin?cos2?d? 方向沿x轴负向

E/??dE/?

另法：参照教材230页例题4

??P2?00sin?cos2?d??P3?0

?P第七次作业答案

1、 置于球心的点电荷?Q被两同心球壳包围，大球壳为导体，小球壳为相对介电系数为?r的电介质。小球壳内半径为a ，外半径为b ，大球壳内半径为c ，外半径为d 。 求出（1）电位移矢量D的分布并做出D随空间位置变化的曲线

?? （2）电场强度矢量E的分布并做出E随空间位置变化的曲线 ? （3）极化强度矢量P的分布并做出P随空间位置变化的曲线

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（4）附加电场强度矢量E/的分布并做出E/随空间位置变化的曲线 （5）电荷密度的分布并做出?随空间位置变化的曲线

解：置于球心处的点电荷?Q产生的场，具有球对称性，在该电场的作用下，电介质球壳被极化，电介质球壳内外表面产生极化电荷，因而产生附加电场；导体球壳由于静电感应， 其内外表面也产生面感应电荷，也产生附加电场

（1）设场点的位置为r ，根据 有介质时的高斯定理 可知：

?4?r当c?r?d D?0 随r的变化曲线从略

??（2）由D??0?rE 可知

当r?a或b?r?c或r?d时 E?当r?c或r?d D?Q2

Q4??0r2Q

当a?r?b时 E?4??0?rr2

当c?r?d E?0 E随r的变化曲线从略

??（3）由P?(?r?1)?0E 可知，

电介质球壳以外 ?r?1 ， 所以 P?0

电介质球壳以内 P?(?r?1)?0E P随r的变化曲线从略

（4）由于极化电荷和感应电荷的分布具有球对称性，产生的附加电场仅在介质内部及导体内部不为零，且附加电场E的方向与E0（点电荷产生的电场）的方向相反。 在电介质球壳内，由极化电荷产生的附加场E?E?E0

（式中 E0?/?/?Q4??0r2 E?Q4??0?rr?2）

在导体球壳内，感应电荷产生的附加电场E与E0大小相等，方向相反， 即 E/?/??E0 E/随r的变化曲线从略

（5）对于电介质，由于介质球是均匀的，电介质内体电荷密度为零，只有电介质球壳的内外表面有面极化电荷，设面电荷密度为? ，则

当r?b时 ??P

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//当r?a时 ???P

对于导体球壳，内外表面也均有感应电荷，设面电荷密度为?0 ，则

当r?d时 ?0?D

当r?c时 ?0??D ?/随r的变化曲线从略

2．在介电系数为???0?r的无限大均匀电介质中，存在均匀电场E0 。在电介质中挖一个球形空穴，求这空穴中心的电场强度E

解：设均匀外电场的方向水平向右，由于极化，电介质的空穴表面，左半球面带正的极化电荷，右半球面带负的极化电荷，电荷的分布如同均匀极化的介质球表面的电荷分布， 故 极化电荷在球心处产生的电场为E?//??P3?0

其方向与外电场的方向一致（注意：这不同于极化电荷在介质内产生的附加电场）

/而 P?(?r?1)?0E0 所以 E??r?13E0

E0

所以 球心处的场为E?E0?E?/?r?23第七次作业答案

2、 置于球心的点电荷?Q被两同心球壳包围，大球壳为导体，小球壳为相对介电系数为?r的电介质。小球壳内半径为a ，外半径为b ，大球壳内半径为c ，外半径为d 。

?求出（1）电位移矢量D的分布并做出D随空间位置变化的曲线

（2）电场强度矢量E的分布并做出E随空间位置变化的曲线

?? （3）极化强度矢量P的分布并做出P随空间位置变化的曲线 ?// （4）附加电场强度矢量E的分布并做出E随空间位置变化的曲线

（5）电荷密度的分布并做出?随空间位置变化的曲线

解：置于球心处的点电荷?Q产生的场，具有球对称性，在该电场的作用下，电介质球壳被极化，电介质球壳内外表面产生极化电荷，因而产生附加电场；导体球壳由于静电感应，

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其内外表面也产生面感应电荷，也产生附加电场

（1）设场点的位置为r ，根据 有介质时的高斯定理 可知：

4?r当c?r?d D?0 随r的变化曲线从略

??（2）由D??0?rE 可知

当r?a或b?r?c或r?d时 E?当r?c或r?d D?Q2

Q4??0rQ2

当a?r?b时 E?4??0?rr2

当c?r?d E?0 E随r的变化曲线从略

??（3）由P?(?r?1)?0E 可知，

电介质球壳以外 ?r?1 ， 所以 P?0

电介质球壳以内 P?(?r?1)?0E P随r的变化曲线从略

（4）由于极化电荷和感应电荷的分布具有球对称性，产生的附加电场仅在介质内部及导体内部不为零，且附加电场E的方向与E0（点电荷产生的电场）的方向相反。 在电介质球壳内，由极化电荷产生的附加场E?E?E0

（式中 E0?/?/?Q4??0r2 E?Q4??0?rr?2）

在导体球壳内，感应电荷产生的附加电场E与E0大小相等，方向相反， 即 E/?/??E0 E/随r的变化曲线从略

（5）对于电介质，由于介质球是均匀的，电介质内体电荷密度为零，只有电介质球壳的内外表面有面极化电荷，设面电荷密度为? ，则

当r?b时 ??P 当r?a时 ???P

对于导体球壳，内外表面也均有感应电荷，设面电荷密度为?0 ，则

当r?d时 ?0?D

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