状态转移模型2 - 图文(7)

2121??a?b?c?d?e即00000??3333??0??0??(n)x???0????0?1?212?b0?c0?d0?e0?f0?333?3?因此，在极限情况下所有同胞对或者是（A,AA）型，或者是（a,aa）型。如果初始的父母体同胞对是（A,Aa）型，即b0=1，而a0=c0=d0=e0=f0=0，于是，当n??时

x(n)1??2??,0,0,0,0,?3??3T即同胞对是(A,AA)型的概率是2/3，是(a,aa)型的概率为1/3。

（正则链与吸收链）根据转移矩阵的不同结构，马氏链可以分为多个不同的类型，这里，我们只简单介绍其中常见而又较为重要的两类：正则链与吸收链。定义2对于马氏链，若存在一正整数K，使其转移矩阵的K次幂MK>0（每一分量均大于0），则称此马尔链为一正则（regular）链。定理2若A为正则链的转移矩阵，则必有：t（1）当t???时，A?W，其中W为一分量均大于零的随机矩阵。（2）W的所有行向量均相同。定理3记定理2中的随机矩阵W的行向量为V=(v1,…,vn),则：t???t（1）对任意随机向量x，有xA????V（2）V是A的不动点向量,即VA=V, A的不动点向量是唯一的。定义3状态Si 称为马氏链的吸收状态，若转移矩阵的第i 行满足：Pii=1，Pij=0（j≠i）定义4马氏链被称为吸收链，若其满足以下两个条件：（1）至少存在一个吸收状态。（2）从任一状态出发,经有限步转移总可到达某一吸收状态根据定义3，例4.7中状态S4即为一吸收链具有r个吸收状态，n－r个非吸收状态的吸收链，它的n×n转移矩阵的标准形式为

?Ir?O???（注：非标准形式可经对状态重新编号）T????????R?S??其中Ir为r 阶单位阵，O为r×s零阵，R为s×r 矩阵，S为s×s矩阵。令?Ir?O???nT????????R?S??上式中的子阵Sn表达了以任何非吸收状态作为初始状态，经

过n步转移后，处于s个非吸收状态的概率。在吸收链中，令F=(I－S) -1，称F为基矩阵。

定理4吸收链的基矩阵F中的每个元素，表示从一个非吸收状态出发，过程到达每个非吸收状态的平均转移次数。定理5设N=FC，F为吸收链的基矩阵，C=(1,1,…,1)T，则N的每个元素表示从非吸收状态出发，到达某个吸收状态被吸收之前的平均转移次数。定理6设B=FR=（bij），其中F为吸收链的基矩阵，R为T中的子阵，则bij表示从非吸收状态i出发，被吸收状态j吸收的概率。

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